Jürgen Dick - Lehrstuhl Algorithmen & Datenstrukturen, Institut für ...

3.1. WINDOWING / FRAMES 41
einfache Multiplikation des Signals mit
für ein Hanning- und ein Rechteck-Fenster.
. Abbildung 3.1 verdeutlicht diesen Vorgang
Länge
¢
für
Ein Window der ist eine kausale Folge, es gilt also
¢
und
§
wenn Die meisten verwendeten Windows sind symmetrisch um den Zeitpunkt ¦,
wobei dieser Zeitpunkt in der Mitte zwischen zwei Abtastpunkten liegt, gerade ist.
Windows lassen sich als symmetrische FIR-Filter auffassen (vergleiche Kapitel 2.3.4).
Der Windowing-Prozeß hat im allgemeinen zwei Haupteffekte:
1. Der Windowing-Prozeß reduziert die Frequenzauflösung des berechneten Spektrums. Der
kleinste auflösbare Frequenzunterschied ist durch die Länge des Datensatzes beschränkt,
somit gilt ¥¢¡ §
§
, wobei die Länge des Fensters und
das Abtastintervall
repräsentieren. Dies nennt man das uncertainty principle.
2. Der Windowing-Prozeß addiert zusätzliche hohe Frequenzkomponenten zum Spektrum
hinzu, die durch das scharfe Clipping des Signals am linken und rechten Rand
eines Windows erzeugt werden. Dieser Effekt ist als frequency leakage bekannt.
¤£
Anhand eines Rechteck-Fensters sollen nun einige wichtige Begriffe geklärt werden, die in
Abbildung 3.2 verdeutlicht sind. Bei dieser Abbildung ist zu beachten, daß das Spektrum aus
Symmetriegründen nur für positive Frequenzen dargestellt ist. Das Amplitudenspektrum des
Rechteck-Fensters besteht aus dem sogenannten Höhe
mainlobe der dessen Breite durch
die Länge des Fensters mit gegeben ist und der sein Zentrum bei besitzt,
¢
und
kleineren sogenannten sidelobes. Der mainlobe-Peak bei (DC) dominiert das
¢
Spektrum,
da
die Fensterfunktion auf
¢
dem
Bereich ein DC-Signal 1 ist. Die höheren
Frequenzkomponenten stellen die scharfen
Übergänge von an ihren Endpunkten dar. Die
mainlobe-Breite ¥¢¡ bestimmt
die Frequenzauflösung des "gefensterten" Spektrums.
Wenn größer gewählt wird, wächst die Höhe des mainlobes und die Breite nimmt ab. Jedoch
steigt auch die Höhe der sidelobes relativ zur Höhe des mainlobes und bleibt in etwa dB tiefer.
Die sidelobes bestimmen das Ausmaß der ungewünschten Artefakte des Windowing-Prozesses.
Sie müssen so gut als möglich unterdrückt werden. Aus dem gerade beschriebenen lassen sich
zwei gewünschte Eigenschaften für das Spektrum der Fensterfunktion ableiten:
¥
1. Die Breite des mainlobes sollte möglichst gering sein.
2. Die Abschwächung der sidelobes sollte möglichst groß sein.
Vorteil des Rechteck-Fensters ist, daß es die zeitlichen Eigenschaften des Signals erhält. Allerdings
ist die Abschwächung der sidelobes eher gering. Eine Standardtechnik zur Unterdrückung
der sidelobes ist die Benutzung eines nicht-rechteckigen Fensters. Die mathematischen
Definitionen von vier Alternativen werden in Tabelle 3.1 vorgestellt. Diese Windows schneiden
1 Der Begiff DC-Signal steht für eine konstantes Signal. In der Elektrotechnik werden konstante, analoge Signal
als Gleichspannungssignale bezeichnet.