Jürgen Dick - Lehrstuhl Algorithmen & Datenstrukturen, Institut für ...
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2.3. KONZEPTE UND NOTATIONEN DER DIGITALEN SIGNALVERARBEITUNG 37<br />
z-Transformation<br />
Die (zweiseitige) z-Transformation ist die letzte Transformation, die vorgestellt werden soll. Sie<br />
ist ein wichtiges Werkzeug <strong>für</strong> die Analyse, den Entwurf und die Implementation digitaler Filter.<br />
Definition 2.5 Die (zweiseitige) z-Transformation <strong>für</strong> ein zeitdiskretes Signal <br />
als<br />
¡ <br />
¢<br />
wobei eine komplexe Zahl ist, <strong>für</strong> die gilt <br />
<br />
<br />
<br />
£<br />
£ ¢ £ £ <br />
ZT <br />
ist definiert<br />
(2.30)<br />
(2.31)<br />
Definition 2.6 Der Konvergenzradius (region of convergence) ROC der<br />
¡ <br />
z-Transformation<br />
ist definiert als die Teilmenge der komplexen ¤ z-Ebene , <strong>für</strong> die (2.30) konvergiert,<br />
Region Of Convergence <br />
¥<br />
¤ <br />
¦<br />
<br />
<br />
©¨ §<br />
(2.32)<br />
Der Konvergenzradius ist ein wichtiges Konzept, er erlaubt die eindeutige Umkehrung der<br />
z-Transformation und liefert praktische Charakterisierungen der Kausalitäts- und Stabilitätseigenschaften<br />
eines Signals oder Systems. Die z-Transformation und ihr ROC sind eindeutig<br />
durch das Zeitsignal bestimmt. Abhängig vom Zeitsignal kann der ROC das Innere eines<br />
Kreises, das Äußere eines Kreises oder ein<br />
<br />
Kreisring der ¥ Form sein, wobei<br />
Null und ¥ unendlich sein kann. Da es möglich ist, daß zwei verschiedene Zeitsignale die<br />
gleiche z-Transformation besitzen, können solche Signale nur durch die Konvergenzbereich ihrer<br />
z-Transformationen unterschieden werden.<br />
¡ ¡<br />
Es gibt bei der z-Transformation so viele Terme, die nicht Null sind, wie es Signalwerte gibt.<br />
Die Terme können als Platzhalter <strong>für</strong> die Werte angesehen werden. Wenn das Signal<br />
<br />
kausal ist, kommen nur negative Exponenten in der Expansion vor. Ist<br />
<br />
strikt antikausal<br />
<br />
und nicht Null <strong>für</strong> <br />
, dann erscheinen nur positive Exponenten in der Expansion. Ist<br />
<br />
<br />
sowohl kausal als auch antikausal, dann erscheinen sowohl negative als positive Exponenten in<br />
der Expansion.<br />
Definition 2.7 Die inverse z-Transformation wird formal durch Kontour-Integration<br />
<br />
<br />
¦<br />
¡ ¢ §<br />
¨ <br />
IZT<br />
(2.33)<br />
definiert, wobei ¨ eine entgegen dem Uhrzeigersinn verlaufende, geschlossene Kontour durch<br />
den ROC ist, die den Ursprung der z-Ebene enthält.
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