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34 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER SPRACHANALYSE FIR £¨£ ¥¨§ £ £¦¥¨§ IIR 0 1 2 . . . . M 0 1 2 . . . . . . . ¥ ¥ Abbildung 2.9: Impulsantworten eines FIR- und eines IIR-Filters Die zweite Klasse besitzt eine Impulsantwort mit unendlicher Dauer (infinite impulse response, IIR). Die Ausgabe eines kausalen IIR-Systems ist ¤¡ ¤ ¤ ¢ ¤ IIR Filter Gleichung (2.20) Die Systemausgabe ist eine gewichtete Linearkombination der Samples des Eingangs- ¤ ¦ signals . Da die gewichtete Summe sowohl die gegenwärtigen ¤ als auch alle zurückliegenden Samples verrechnet, hat das System einen unendlichen Speicher. Hier stellt sich die Frage, ob solche Systeme überhaupt realisierbar sind, da dies unendlich viele Additionen, Multiplikationen und unendlichen Speicher benötigen würde. Glücklicherweise gibt es eine praktikable und berechenbare Möglichkeit der Realisierung, wenn man sich auf eine Subklasse der IIR-Systeme beschränkt. Bei dieser ¡ Subklasse werden die ¨ ¤ ¤ §¤ © ¤ unendlich vielen Filterkoeffizienten nicht beliebig gewählt, sondern durch lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten miteinander verkoppelt. Für diese Subklasse kann die Gleichung (2.20) so zu einer Differenzengleichung umgestellt werden, daß hiermit eine effiziente rekursive Berechnung der Ausgabe ermöglicht wird. Beiden Systemen gemeinsam ist die Tatsache, daß ihre Anwendung zu einer Verzögerung des Signals führen. FIR-Filter können so konstruiert werden, daß diese Verzögerung für alle Frequenzen konstant bleibt, für IIR-Filter gilt dies nicht. Die unterschiedliche Verzögerung für verschiedene Frequenzen kann zu hörbaren Beeinträchtigungen führen. FIR-Systeme haben gegenüber den IIR-Systemen einen weiteren Vorteil, daß sie immer stabile Systeme sind. Dies folgt aus ihrer Definition. IIR-Systeme müssen sehr sorgfältig entworfen werden, damit das Stabilitätskriterium erfüllt wird. Ihr Vorteil ist, daß hiermit sehr effiziente, rekursive Berechnungen möglich sind. FIR-Systeme lassen sich bei direkter Implementierung über die Faltungssummen nicht effizient implementieren. Ab einer bestimmten Filterlänge bietet es sich deshalb an, Eingangssignal und Impulsantwort mittels der diskreten Fourier-Transformation (DFT) in den Frequenzbereich zu transformieren, dort zu multiplizieren, und dann wieder mittels inverser DFT in den Zeitbereich zurückzutransformieren. Dies ist aufgrund der Faltungseigenschaft der DFT möglich. Das folgende Kapitel erklärt diese und verwandte Transformationen und deren Zusammenhänge.
2.3. KONZEPTE UND NOTATIONEN DER DIGITALEN SIGNALVERARBEITUNG 35 2.3.5 Fourier-Transformationen und verwandte Konzepte Zeitdiskrete Fouriertransformation Definition 2.3 Die zeitdiskrete Fouriertransformation (DTFT) der Folge Die inverse DTFT ( IDTFT) ist gegeben durch ¦ ¥§¦ ¦ ©¢¡¤£ DTFT © ¡¤£©¨ IDTFT ist definiert als (2.21) (2.22) Die Existenz der DTFT ist keine triviale Angelegenheit. Ein hinreichendes Kriterium ist die absolute Summierbarkeit: Eine absolut summierbare Folge ist notwendigerweise ein Energiesignal (siehe Definition 2.1). Es gibt jedoch Energiesignale, die nicht absolut summierbar sind. Diese Energiesignale besitzen weiterhin eine DTFT, deren Folgen aber in einem schwächeren Sinne konvergieren. Die DTFT ist sehr nützlich für theoretische spektrale Analysen, sie ist aber nicht in einem Computer berechenbar, weil sie eine Funktion eines kontinuierlichen Arguments ist. Diskrete Fouriertransformation (2.23) Beschränkt man sich auf die praktische Situation, in der eine Folge endlicher Länge untersucht wird, dann liefert die diskrete Fouriertransformation eine Abbildung zwischen der Sequenz ¤ ¢ ¦ und einer diskreten Menge von Frequenzdomänen-Samples. Definition 2.4 Die diskrete Fouriertransformation (DFT) einer Folge ¤ § ¡ ©¢¡ £¦§ ¤ ¤ ¢ ¢ Die inverse DFT (IDFT) ist gegeben durch § ¤¡ ¤ © ¡ £¦ § ¤ ¢ ¢ ist gegeben durch DFT IDTF (2.24) (2.25)
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