Jürgen Dick - Lehrstuhl Algorithmen & Datenstrukturen, Institut für ...

34 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER SPRACHANALYSE
FIR £¨£ ¥¨§ £ £¦¥¨§ IIR
0 1 2 . . . . M
0 1 2 . . . .
. . .
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Abbildung 2.9: Impulsantworten eines FIR- und eines IIR-Filters
Die zweite Klasse besitzt eine Impulsantwort mit unendlicher Dauer (infinite impulse
response, IIR). Die Ausgabe eines kausalen IIR-Systems ist
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¤ ¢ ¤ IIR Filter Gleichung
(2.20)
Die Systemausgabe ist eine gewichtete Linearkombination der Samples des Eingangs-
¤
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signals . Da die gewichtete Summe sowohl die gegenwärtigen
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als auch alle zurückliegenden Samples verrechnet, hat das System einen unendlichen
Speicher. Hier stellt sich die Frage, ob solche Systeme überhaupt realisierbar sind, da dies
unendlich viele Additionen, Multiplikationen und unendlichen Speicher benötigen würde.
Glücklicherweise gibt es eine praktikable und berechenbare Möglichkeit der Realisierung,
wenn man sich auf eine Subklasse der IIR-Systeme beschränkt. Bei dieser
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Subklasse werden
die ¨ ¤ ¤
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unendlich vielen Filterkoeffizienten nicht beliebig gewählt, sondern
durch lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten miteinander verkoppelt.
Für diese Subklasse kann die Gleichung (2.20) so zu einer Differenzengleichung
umgestellt werden, daß hiermit eine effiziente rekursive
Berechnung der Ausgabe
ermöglicht wird.
Beiden Systemen gemeinsam ist die Tatsache, daß ihre Anwendung zu einer Verzögerung des
Signals führen. FIR-Filter können so konstruiert werden, daß diese Verzögerung für alle
Frequenzen konstant bleibt, für IIR-Filter gilt dies nicht. Die unterschiedliche Verzögerung für
verschiedene Frequenzen kann zu hörbaren Beeinträchtigungen führen. FIR-Systeme haben
gegenüber den IIR-Systemen einen weiteren Vorteil, daß sie immer stabile Systeme sind. Dies
folgt aus ihrer Definition. IIR-Systeme müssen sehr sorgfältig entworfen werden, damit das Stabilitätskriterium
erfüllt wird. Ihr Vorteil ist, daß hiermit sehr effiziente, rekursive Berechnungen
möglich sind. FIR-Systeme lassen sich bei direkter Implementierung über die Faltungssummen
nicht effizient implementieren. Ab einer bestimmten Filterlänge bietet es sich deshalb an, Eingangssignal
und Impulsantwort mittels der diskreten Fourier-Transformation (DFT) in den
Frequenzbereich zu transformieren, dort zu multiplizieren, und dann wieder mittels inverser DFT
in den Zeitbereich zurückzutransformieren. Dies ist aufgrund der Faltungseigenschaft der DFT
möglich. Das folgende Kapitel erklärt diese und verwandte Transformationen und deren Zusammenhänge.