Jürgen Dick - Lehrstuhl Algorithmen & Datenstrukturen, Institut für ...

2.3. KONZEPTE UND NOTATIONEN DER DIGITALEN SIGNALVERARBEITUNG 33
oder kürzer
¡
Die Gleichung (2.17) kann auch in einer alternativen Art (direkte Form) dargestellt werden, bei
der der Index der Summation vertauscht ist:
¡
¤ ¡
¤
¢ LTI Form
¡ ¢ direkte Form
(2.17)
(2.18)
Die obigen Gleichungen liefern die
Antwort eines LTI-Systems als eine Funktion des Eingabesignals
und der ¤
Impulsantwort und werden Faltungssummen (convolutional sum)
genannt. Die Eingabe wird mit der ¤
Impulsantwort gefaltet, um die
Ausgabe
zu erhalten.
Systeme mit endlicher (FIR) oder unendlicher (IIR) Impulsantwort
Bislang wurde ein LTI-System durch seine ¤
Impulsantwort
können nun weiter in zwei Klassen unterteilt werden.
charakterisiert. LTI-Systeme
Die erste Klasse besitzt eine Impulsantwort mit endlicher Dauer (finite impulse
response, FIR). Die Werte der Impulsantwort sind in diesem Fall Null außerhalb eines
endlichen Intervalls. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit werden im folgenden kausale
FIR-Systeme betrachtet, für die gilt:
¢ ¢ und ¨§
¤
Die Faltungssumme für ein solches System reduziert sich zu
§
¤¡
£
¤
¤ ¢ ¥¤ FIR Filter Gleichung
(2.19)
¤
¦¤
Eine nützliche Interpretation dieses Ausdrucks erhält man durch die Beobachtung, daß
die Ausgabe zu jedem Zeitpunkt eine gewichtete Linearkombination der Samples des
Eingangssignals ist. Das System gewichtet
die letzten
¤ für ¤ ¤ ¢
Samples durch die Werte der Impulsantwort
und summiert die resultierenden
Produkte auf. Es agiert also als Fenster, das nur die
letzten
Samples des Eingabesignals für die Ausgabe betrachtet (siehe Abbildung 2.9).
Ein FIR-System hat demnach einen endlichen Speicher der Länge
. Die Realisierung
von FIR-Systemen beinhaltet Additionen, Multiplikationen und einen endlichen Speicher,
so daß solche Systeme gemäß (2.19) direkt implementiert werden können. Das in Kapitel
3.1 vorgestellte Windowing kann auch als FIR-Filter aufgefasst werden.