Jürgen Dick - Lehrstuhl Algorithmen & Datenstrukturen, Institut für ...

2.3. KONZEPTE UND NOTATIONEN DER DIGITALEN SIGNALVERARBEITUNG 31
2. Zeitinvariante versus zeitvariante Systeme.
Ein System
heißt zeitinvariant, wenn sich seine Ein-/Ausgabecharakteristik nicht mit
der Zeit ändert, das heißt
¡ £¢
impliziert
¥¤ ¦ £¢ ¥¤
(2.10)
3. Lineare versus nichtlineare Systeme.
Das Superpositionsprinzip erfordert, daß die Antwort eines Systems
auf eine gewichtete
Summe von Signalen gleich der entsprechenden gewichteten Summe der Antworten des
Systems auf jedes individuelle Eingangssignal ist.
¢¨§ ©§
¢ ¢§ ©§ ¢
(2.11)
Erfüllt ein System das Superpositionsprinzip, so heißt es linear. Andernfalls handelt es
sich um ein nichtlineares System.
4. Kausale versus nichtkausale Systeme.
Ein System heißt kausal, wenn die Ausgabe des Systems zu jedem Zeitpunkt nur von
gegenwärtigen und zurückliegenden Eingaben abhängt, nicht aber von noch kommenden
Eingaben. Das heißt, die Antwort eines kausalen Systems erfüllt eine Gleichung der Form
¤
¤ ¦
(2.12)
wobei eine beliebige Funktion darstellt. Andernfalls heißt das System nichtkausal.
In Echtzeitanwendungen können natürlich nicht Signalwerte beobachtet werden, die in der
Zukunft liegen. Ein nichtkausales System ist physikalisch also nicht realisierbar. Ist das
Signal aber aufgezeichnet, so daß die Verarbeitung off-line stattfinden kann, ist es möglich,
ein nichtkausales System zu implementieren.
5. Stabile versus instabile Systeme.
Ein System heißt stabil, wenn es auf jede beschränkte Eingangsfolge mit einer beschränkten
Ausgangsfolge reagiert,
©
impliziert
für alle
, wobei
endliche Zahlen sind. Wenn für eine beschränkte Eingangsfolge
©
die Ausgabe unbeschränkt ist, dann wird das System als instabil klassifiziert.
Stabilität ist eine wichtige Eigenschaft, die in jeder praktischen Anwendung eines Systems
betrachtet werden muß. Instabile Systeme zeigen fehlerhaftes und extremes Verhalten und
verursachen Überläufe in jeder praktischen Implementation.
(2.13)