Editierdistanz - Lehrstuhl Algorithmen & Datenstrukturen, Institut für ...

Algorithmen und Datenstrukturen 

(Th. Ottmann und P. Widmayer) 

Folien: Editierdistanz 

Autor: Sven Schuierer 

Institut für Informatik 

Georges-Köhler-Allee 

Albert-Ludwigs-Universität Freiburg

1 Editier-Distanz 

Gegeben: zwei Zeichenketten A = a 1a 2 am und 

B = b 1b 2 bn 

Gesucht: Minimale Kosten DA; B für eine Folge von 

Editieroperationen, um A in B zu überführen 

Editieroperationen: 

1. Ersetzen eines Zeichens von A durch ein Zeichen von 

B 

2. Löschen eines Zeichens von A 

3. Einfügen eines Zeichens von B 

Einheitskostenmodell: 

ca; b = 

a = , b = möglich 

1 falls a 6= b 

0 falls a = b 

Dreiecksungleichung soll für c im allgemeinen gelten: 

ca; c ca; b + cb; c 

Ein Buchstabe wird höchestens einmal verändert 

AD Editierdistanz Sven Schuierer, 12. Februar 2001 

Editier-Distanz 1-1

2 Spur 

Spur als Repräsentation von Editiersequenzen 

oder mit 

Kosten: 5 

A = 

B = 

A = 

a 

baac 

a 

bacbc 

baac 

a 

a 

b 

c 

c 

a b c 

B = aba 

c b c a c 

Aufteilung einer optimalen Spur zwei optimale 

Teilspuren 

Bemerkung: Dynamische Programmierung erforderlich! 


Spur 2-1 

a

Berechnung der Spur 

Sei A i = a 1 a i und B j = b 1 b j 

D i;j = DA i;B j 

Drei Möglichkeiten eine Spur zu beenden: 

1. am wird durch bn ersetzt: 

Dm;n = D m1;n1 + cam;bn 

2. am wird gelöscht: Dm;n = D m1;n + 1 

3. bn wird eingefügt: Dm;n = D m;n1 + 1 


Spur 2-2

3 Rekursionsgleichung 

Rekursiongleichung, falls m; n 1: 

Dm;n = min 

8 

 

: 

D m1;n1 + cam;bn; 

D m1;n + 1; 

D m;n1 + 1 

Berechnung aller D i;j erforderlich, 0 i m, 

0 j n. 


Rekursionsgleichung 3-1 

9 

= 

;

Anfangsbedingungen 

Anfangsbedingungen: 

Rekursionsgleichung: 

D i;j = min 

D 0;0 = D; = 0 

D 0;j = D; B j = j 

D i;0 = DA i; =i 

8 

 

: 

D i1;j1 + ca i;b j; 

D i1;j + 1; 

D i;j1 + 1 


Rekursionsgleichung 3-2 

9 

= 

;

4 Reihenfolge 

Reihenfolge der Berechnung: 

a1 

a2 

. 

am 

b1 b2 b3 b4 

Di1;j1 

Di;j1 

bn 

Di1;j 

Di;j 


Reihenfolge 4-1

5 Algorithmus 

Editierdistanz 

Input: Zwei Zeichenketten A = a 1 am und 

B = b 1 bn 

Output: Die Matrix D = D ij 

1 D0; 0 := 0 

2 for i := 1 to m do Di; 0 = i 

3 for j := 1 to n do D0;j=j 

4 for i := 1 to m do 

5 for j := 1 to n do 

6 Di; j := minDi 1;j+1; 

Di; j 1 + 1; 

Di 1;j1 + ca i;b j 


Algorithmus 5-1

6 Beispiel 

b 

a 

a 

c 

0 1 2 3 4 

1 

2 

3 

4 

a b a c 


Beispiel 6-1

7 Editier-Operationen 

Berechnung der Editieroperationen: 

Editieroperationeni; j 

Input: Berechnete Matrix D 

1 if i = 0 and j = 0 then return 

2 if i 6= 0 and Di; j = Di 1;j+1 

3 then “lösche ai” 

4 Editieroperationeni 1;j 

5 else if j 6= 0 and Di; j = Di; j 1 + 1 

6 then “füge bj ein” 

7 Editieroperationeni; j 1 

8 else 

= Di; j = Di 1;j1 + cai;bj = 

9 “ersetze ai durch bj” 

10 Editieroperationeni 1;j1 

Aufruf: Editieroperationenm; n 


Editier-Operationen 7-1

Beispiel 

Editieroperationen: 

A 

b 

a 

a 

c 

B = a b a c 

0 1 2 3 4 

1 

2 

3 

4 

1 1 2 3 

1 2 2 3 

2 2 2 3 

3 3 3 2 

Spurgraph: Übersicht über alle möglichen Spuren zu 

Transformation von A in B 

Bemerkungen: Implizit vorher verwendet 

Spurgraph: Knoten für jedes Paar i; j 

gerichtete Kante von Knoten i; j zu i 1;j, i; j + 1 

und i + 1;j+1. 

Gewichtung der Kanten entsprechend Editierkosten 

Kosten nehmen entlang eines Weges monoton zu 

Jeder Weg von der linken oberen Ecke zu rechten 

unteren Ecke entspricht einer optimalen Spur 


Editier-Operationen 7-2

8 Approximative Zeichenkettensuche 

Gegeben: zwei Zeichenketten P = p 1p 2 pm (Muster) 

und T = t 1t 2 tn (Text) 

Gesucht: Ein Intervall j 0 ;j, 1j 0 j n, so daß 

das Teilwort T j 0 ;j = t j 0 t j das dem Muster 

P ähnlichste Teilwort von T ist, d.h. für alle 

anderen Intervalle k 0 ;k, 1 k 0 k n, 

gilt: 

DP; T j 0 ;j DP; T k 0 ;k 

Naives Verfahren: 

for all 1 j 0 j n do 

Berechne DP; T j 0 ;j 

wähle Minimum 


Approximative Zeichenkettensuche 8-1

Methode 

for all 1 j n do 

Berechne j 0 , so daß DP; T j 0 ;j minimal ist 

Für 0 i m und 0 j n sei: 

Optimale Spur: 

E i;j = min 

1j 0 j+1 DP i;T j 0 ;j 

Pi = 

T j 0 ;j = 


E i;j = min 

8 

 

: 

baac 

bacbc 

aa 

a 

b 

E i1;j1 + cp i;t j; 

E i1;j + 1; 

E i;j1 + 1 


Approximative Zeichenkettensuche 8-2 

c 

c 

9 

= 

;

Bemerkungen 

Wieder drei Möglichkeiten wie die optimale Spur für 

DP i;T j 0 ;j endet, d.h. unabhängig von j 0 muß eine der 

drei Möglichkeiten eintreten 

Aber: j 0 kann für E i1;j1, E i1;j und E i;j1 ganz 

verschieden sein. 

Teilspur einer optimalen Spur ist eine optimale Teilspur, 

d.h. insbesondere ist j 0 optimal für DP i;T j 0 ;j und z.B. 

E i;j = E i;j1 + 1, dann ist j 0 auch optimal für 

DP i;T j 0 ;j1 . 



Anfangsbedingungen 

aber 

E 0;0 = E; = 0 

E i;0 = EP i;=i 

E 0;j = E; T j = 0 

Beobachtung: 

Die optimale Editiersequenz von P nach T j 0 ;j beginnt 

nicht mit einer Einfügung von t j 0 



Abhängigkeitsgraph 

a 

d 

b 

b 

c 

T = 

P 0 

1 

2 

3 

a b b d a d c b c 

0 1 

1 1 2 

2 

4 3 

5 4 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 

1 

2 

3 

1 1 0 1 1 1 1 

1 

1 

2 

1 

2 

2 

2 

1 

2 

3 

3 

0 

1 

2 

1 2 2 

1 

2 

1 

3 2 2 

1 2 

Eigentlich: Suche nach Vorkommen von P in T mit 

Editierdistanz höchstens k 



2 

1

Korrektheit 

Satz Gibt es im Abhängigkeitsgraphen einen Weg von 

E 0;j 0 1 nach E i;j, soistT j 0 ;j ein zu P i ähnlichstes, bei j 

endendes Teilstück von A mit 

DP i;T j 0 ;j = E i;j: 



Ähnlichkeit zweier Zeichenketten 

SA; B 

Operationen: 

1. Ersetzen eines Zeichens a durch ein Zeichen b: 

Gewinn sa; b 

2. Löschen eines Zeichens von A, Einfügen eines 

Zeichens von B: Verlustc 

Aufgabe: 

Finde eine Folge von Operationen zur Umwandlung von 

A in B, so daß die Summe der Gewinne maximiert wird. 



Motivation 

Problem aus der Biologie: Berechnung der Ähnlichkeit 

von Proteinen. 

Jedes Protein ist eine lineare Verknüpfung von 250-2000 

Aminosäuren 

Es gibt 20 Aminosäuren, aus denen alle Proteine 

aufgebaut sind, d.h. jedes Protein kann als Zeichenkette 

über einem Alphabet der Größe 20 aufgefäßt werden. 

Manche Aminosäuren sind sich in ihren Eigenschaften 

(z.B. hydrophil-hydrophob) ähnlicher als andere 

Ähnlichkeit zweier Zeichenketten nur dann sinnvoll, 

wenn jedes Zeichen nur in einer Operation vorkommt 



Ähnlichkeit von Zeichenketten 

S i;j = SA i;B j, 0im, 0 j n 


Sm;n = max S m1;n1 + sam;bn; 


S m1;n c; S m;n1 c 

S 0;0 = S; = 0 

S 0;j = S; B j = jc 

S i;0 = SA i;=ic 



Ähnlichste Teilzeichenketten 

Gegeben: zwei Zeichenketten A = a 1a 2 am und 

B = b 1b 2 bn 

Gesucht: Ein zwei Intervalle i 0 ;i1;mund 

j 0 ;j1;n, so daß: 

SA i 0 ;i ;B j 0 ;j SA k 0 ;k ;B l 0 ;l , 

für alle k 0 ;k1;mund l 0 ;l1;n. 

Naives Verfahren: 

for all i 0 ;i1;mand j 0 ;j1;ndo 

Berechne SA i 0 ;i ;B j 0 ;j 



Methode 

for all 1 i m, 1 j n do 

Berechne i 0 und j 0 , so daß SA i 0 ;i ;B j 0 ;j maximal ist 

Für 0 i m und 0 j n sei: 

Optimale Spur: 

H i;j = max 

1i 0 i+1; 

A i 0 ;i = 

B j 0 ;j = 

1j 0 j+1 

baac 

ba 

SA i 0 ;i ;B j 0 ;j 

a 

a b c 

c b c a c 



Rekursionsgleichung 

: 

H i;j = max 


8 

 

: 

H i1;j1 + sa i;b j; 

H i1;j c; 

H i;j1 c; 

0 

H 0;0 = H; = 0 

H i;0 = HA i;=0 

H 0;j = H; B j = 0 



9 

= 

;

9 Editier-Distanz mit linearem Platz 

Berechnung von Dm;n mit Speicherplatz 

Ominfm; ng: 

Sei m n: Idee spaltenweise Berechnung von D i;j 

C 


Editier-Distanz mit linearem Platz 9-1

Editier-Distanz mit linearem Platz 

Editierdistanz 

Input: Zeichenketten A und B mit Länge m und n 

1 for i := 0 to m do Cj := i 

2 for j := 1 to n do 

= Berechne D0;j;:::;Dm; j = 

= Inv.: Ci = Di; j 1, i = 0;:::;m= 

3 F := C0 = = D0;j1 = 

4 C0 := C0 + 1 = = D0;j= 

5 for i := 1 to m do 

6 E := F = = Di 1;j1 = 

7 F := Ci = = Di; j 1 = 

8 Ci := minE + ca i;b j; 

9 return Cm 

Ci1 + 1;F +1 


Editier-Distanz mit linearem Platz 9-2

Editierdistanz - Lehrstuhl Algorithmen & Datenstrukturen, Institut für ...

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?