09. Kürzeste Wege und Sichtbarkeitsgraphen

Vorlesung
Geometrische Algorithmen
Sichtbarkeitsgraphen und
kurzeste Wege
Sven Schuierer

Uberblick
1. Kurzeste Wege
2. Sichtbarkeitsgraphen
3. Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen
4. Kurzeste Wege fur polygonale Roboter
1

1 Kurzeste Wege
Vorlesung Bewegungsplanung:
Berechnung eines kollisionsfreien Weges
Andere Anforderungen:
Geringe Lange
Wenige Knicke
Mindestkurvenradius
Kurzeste Wege 2

Kurzeste Wege fur Punktroboter
Gegeben:
Menge H von disjunkten polygonalen
oenen Hindernissen mit insgesamt n
Kanten
Startposition ps, Zielposition pe, beide in
C free
Gesucht:
Der kurzeste Weg von ps nach pe in C free
ps pe
Kurzeste Wege 3
ps
pe

Eigenschaften kurzester Wege
Gummiband-Eigenschaft:
ps
Denition
Sei W ein polygonaler Weg von ps nach pe.
Dann heien die Ecken von W , die ungleich ps
pe
oder pe sind, innere Ecken von W .
ps
Kurzeste Wege 4
pe

Eigenschaften kurzester Wege
Lemma
Jeder kurzeste Weg W von ps nach pe
zwischen einer Menge H von disjunkten
polygonalen Hindernissen ist ein polygonaler
Weg, dessen innere Ecken Ecken von H sind.
Beweis: :
Polygonalitat:
Angenommen, W ist nicht polygonal
Es gibt ein p 2 W im Inneren von C free ,
so da kein Liniensegment in W p
enthalt.
Es gibt einen Kreis in C free , der p enthalt
W
Kurzeste Wege 5

Eigenschaften kurzester Wege
Beweis: : Fortsetzung
Ecke v von W :
Angenommen, v ist keine Ecke von H
v ist nicht im Inneren von C free
v ist im inneren einer Kante
Es gibt einen Halbkreis in C free , der p
enthalt
W
Kurzeste Wege 6

Eigenschaften kurzester Wege
Korollar
Ein kurzester Weg von ps nach pe zwischen
einer Menge H von disjunkten polygonalen
Hindernissen besteht aus:
1. Liniensegmenten von ps bzw. pe zu Ecken
von H und
2. Liniensegmenten von einer Ecke von H zu
einer anderen.
Denition
Zwei Punkte v1 und v2 heien gegenseitig
sichtbar, falls das Liniensegment v1v2 nicht
das Innere eines Hindernisses schneidet.
Kurzeste Wege 7

2 Sichtbarkeitsgraphen
Sichtbarkeitsgraph G visH von H:
Knoten V visH von G visH: Ecken von H
Kanten E visH von G visH:
v1;v22E visH, falls v1 und v2
gegenseitig sichtbar
sind.
Sichtbarkeitsgraphen 8

Sichtbarkeitsgraphen und kurzeste
Wege
Korollar
Ein kurzester Weg von ps nach pe zwischen
einer Menge H von disjunkten polygonalen
Hindernissen besteht aus Kanten des
Sichtbarkeitsgraphen G visH , wobei
H = H fps;peg.
ps
Sichtbarkeitsgraphen 9
pe

Berechnung kurzester Wege
Algorithmus kurzesterWeg
Input: Eine Menge H von disjunkten
polygonalen Hindernissen und zwei
Punkte ps und pe in C free
Output: Der kurzeste kollisionsfreie Weg von
ps nach pe
1 G vis SichtbarkeitsgraphH fps;peg
2 Gewichte jede Kante u; v in G vis mit der
euklidischen Distanz von u nach v
3 Berechne einen kurzesten Weg W von ps
nach pe in G vis mit dem Algorithmus von
Dijkstra
4 Gebe W zuruck
Analyse
jEvisj n + 2
2
= On 2
Sichtbarkeitsgraphen 10

3 Berechnung des
Sichtbarkeitsgraphen
Naives Verfahren:
Algorithmus Sichtbarkeitsgraph1
Input: Eine Menge H von disjunkten
polygonalen Hindernissen
Output: Der Sichtbarkeitsgraph G visH von
H
1 G vis V vis; E vis mit
2 V vis die Menge der Eckpunkte
von H
3 E vis ;
4 for all u; v 2 V vis V vis do
5 if uv schneidet kein Hindernis
6 then fuge u; v zu E vis hinzu
7 Gebe G vis = V vis; E vis zuruck
Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 11

Berechnung des
Sichtbarkeitsgraphen
Besserer Algorithmus:
Algorithmus Sichtbarkeitsgraph2
Input: Eine Menge H von disjunkten
polygonalen Hindernissen
Output: Der Sichtbarkeitsgraph G visH von
H
1 G vis V vis; E vis mit
2 V vis die Menge der Eckpunkte
von H
3 E vis ;
4 for all v 2 V vis do
5 W SichtbareEckenv;H
6 for all w 2 W do
7 fuge die Kante v; w zu E vis hinzu
8 Gebe G vis = V vis; E vis zuruck
Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 12

Sichtbarkeitspolygon
Denition
Die Menge der Punkte, die von einem Punkte
p der Ebene aus sichtbar sind, heit das
Sichtbarkeitspolygon von p.
Hier: von p aus sichtbare Ecken
Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 13

Berechnung der sichtbaren Ecken
Idee:
Sortiere die Ecken zyklisch um p
Betrachte die Ecken in dieser Reihenfolge
mit Hilfe eines Scanstrahls
Verwalte die Kanten, die von geschnitten
werden, in einer Suchstruktur
p
T
e3
e1
e3 e2 e4 e8
e2
e7
Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 14
e8
e4
e6
e7
e5
e6

Rotationsweep Events
p
p
p
e1
v
e2
e2
e2
v
e1
v 0
v
e3
e1
sichtbarv
deletee1
inserte2
sichtbarv
sichtbarv
inserte1
0 inserte3
sichtbarv
deletee1
deletee2
Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 15

Sichtbare Ecken
Algorithmus SichtbareEcken
Input: Menge H von Polygonen und Punkt
p nicht im Innern eines Polygons
Output: Die von p aus sichtbaren Ecken in H
1 Sortiere die Ecken v nach winkelp; v im
Fall gleicher Winkel nach Abstand zu p
v1;:::;vn sortierte Reihenfolge
2 Sei der horizontale Strahl beginnend bei p
3 Finde alle Kanten e die schneiden und
speichere sie in einem Suchbaum T
4 W ;
5 for i 1 to n do
6 if sichtbarv i
7 then W W fv ig
8 fuge die zu v i inzidenten Kanten
links von in T ein
9 entferne die zu v i inzidenten
Kanten rechts von aus T
10 return W
Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 16

Sichtbarkeit von Ecken
Sichtbarkeit von v i ist abhangig von:
Suchstruktur T
Ecke v i1
Verschiedene Falle: v i1 ist sichtbar
p
p
v i1
v i
v i1 p
v i
p
v i1
v i1
Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 17
v i
v i

Sichtbarkeit von Ecken
Algorithmus sichtbar
1 if pv i schneidet das Polygon von v i lokal
bei v i
2 then return false
3 if i = 1 or v i1 62 pv i
4 then e linkeste Kante in T
5 if e existiert nicht or
v i auf oder links von e
6 then return true
7 else return false
= i 6= 1 and v i1 2 pv i =
8 if v i1 ist nicht sichtbar
9 then return false
= v i1 ist sichtbar =
10 Suche Kante e in T , die v i1v i schneidet
11 if e existiert
12 then return false
13 else return true
Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 18

Beispiel
Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 19

Analyse von SichtbareEcken
Sortieren:
Aufbau von T :
sichtbarv i:
Update von T :
Satz
Der Sichtbarkeitsgraph einer Menge H von
disjunkten polygonalen Hindernissen mit n
Kanten kann in Zeit On 2 log n berechnet
werden.
Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 20

4 Kurzeste Wege fur polygonale
Roboter
Vorlesung Bewegungsplanung:
Translatorisches Bewegungsplanungproblem
fur polygonalen Roboter R
zwischen Hindernissen fP1;:::;P tg
entspricht
Bewegungsplanungsproblem fur Punkt-
roboter zwischen Hindernissen
fR P1;:::;R P tg.
Kurzeste Wege fur polygonale Roboter 21

Kurzeste Wege fur polygonale
Roboter
Kurzeste Wege fur polygonale Roboter 22

Analyse
Berechnung von C free :
Komplexitat von C free :
Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen von
C free :
Satz
Sei R ein konvexer Roboter mit konstant
vielen Kanten, der translatorische Bewegungen
zwischen einer Menge H von disjunkten
Hindernissen mit insgesamt n Kanten ausfuhrt.
Dann kann ein kurzester kollisionsfreier Weg
von einer Startposition zu einer Endposition in
Zeit On 2 log n berechnet werden.
Kurzeste Wege fur polygonale Roboter 23