finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5.3 Kürzeste Wege
neue Algorithmen oder Modifikationen bekannter Algorithmen entdeckt, die aus theoretischer
oder praktischer Sicht schneller als die bekannten Verfahren sind oder sonstige
Vorzüge haben.
Es gibt keinen Algorithmus zur Bestimmung eines kürzesten (s, t)-Weges, der nicht
(zumindest implizit) auch alle übrigen kürzesten Wege von s nach v, s = v = t, berechnet.
Die Algorithmen für Kürzeste-Wege-Probleme kann man in zwei Kategorien einteilen,
und zwar solche, die negative Bogenlängen zulassen, und solche, die nur nichtnegative
Bogenlängen behandeln können. Von jedem der beiden Typen stellen wir einen Vertreter
vor. Ferner wollen wir noch einen Algorithmus behandeln, der kürzeste Wege zwischen
allen Knoten berechnet.
Vermutlich haben sich die Menschen schon in grauer Vorzeit mit der Bestimmung kürzester
Wege beschäftigt, um z.B. Transporte zu vereinfachen, den Handel zu erleichtern
etc. Mathematik – im heutigen Sinne – wurde dabei sicherlich nicht verwendet. Eines
der ältesten (uns bekannten) Wegeprobleme der (belletristischen) Literatur kommt aus
einer klassischen Quelle: Friedrich Schillers (1759–1805) Schauspiel “Wilhelm Tell”. Dieser
konnte bereits 1291 nicht nur gut schießen, sondern auch optimieren. Und nur mit
dieser Kombination konnte er die Schweiz befreien! Tell befindet sich nach dem Apfelschuss
am Ufer des Vierwaldstätter Sees unweit des Ortes Altdorf. Er muss unbedingt
vor dem Reichsvogt Hermann Geßler die Hohle Gasse in Küßnacht erreichen, siehe Abbildung
5.2(b).
Schiller berichtet:
Tell. Nennt mir den nächsten Weg nach Arth und Küßnacht
Fischer. Die offne Straße zieht sich über Steinen
Den kürzern Weg und heimlichern
Kann Euch mein Knabe über Lowerz führen.
Tell(gibtihmdieHand). Gott lohn Euch Eure Guttat. Lebet wohl.
Der Fischer löst für Tell in dieser Szene offensichtlich ein graphentheoretisches Optimierungsproblem.
In einem Graphen (Wegenetz am Vierwaldstätter See) mit Kantenlängen
(Reisezeit) soll der kürzeste Weg zwischen zwei vorgegebenen Punkten (Altdorf und Küßnacht)
bestimmt werden. Tell behandelt sogar eine kompliziertere Variante mit einer zusätzlichen
Nebenbedingung: Die Summe von „Verhaftungskoeffizienten“ muss unterhalb
eines sicheren Grenzwertes bleiben. Man kann dies auch als multikriterielles Optimierungsproblem
auffassen (Weglänge und Sicherheit gleichzeitig optimieren). Dies ist ein
Aufgabentyp, den wir auch heute noch nicht gut beherrschen. (In der Vorlesung wird
mehr dazu berichtet).
5.3.1 Ein Startknoten, nichtnegative Gewichte
Das Verfahren, das wir nun darstellen wollen, ist mehrfach entdeckt worden. Es wird
allgemein nach Dijkstra (1959) benannt. Wir gehen davon aus, dass ein Digraph D =
(V, A) mit “Gewichten” bzw. “Längen” oder “Entfernungen” c(a) ≥ 0 für alle a ∈ A
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