finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5 Bäume und Wege
Wie Beispiel (5.16) zeigt, muss ein minimaler Baum nicht eindeutig bestimmt sein.
Überlegen Sie sich bitte, wie man feststellen kann, ob ein minimaler aufspannender Baum
eindeutig ist.
Weitergehende Informationen über Branchings und Aboreszenzen (sowie Wälder und
Bäume) finden sich im Buch Schrijver (2003) in Part V.
Im Internet finden sich viele „Graph Libraries“ oder „Algorithm Repositories“, in denen
fertig implementierte Algorithmen angeboten werden, die das „Minimum Spanning Tree“oder
„Maximum Weighted Branching“-Problem lösen. Einige der Algorithmensammlungen
sind kommerziell (und kosten Geld), einige sind frei verfügbar, einige interaktiv
abrufbar und viele haben Visualisierungskomponenten. Die Halbwertzeit der Webseiten
ist häufig nicht besonders hoch. Es folgen einige Webseiten, die Baum-, Branching- und
viele andere Graphenalgorithmen anbieten:
• COIN-OR::LEMON 1.1: http://lemon.cs.elte.hu
• QuickGraph: http://quickgraph.codeplex.com
• The Stony Brook Algorithm Repository: http://www.cs.sunysb.edu/~algorith/
• LEDA: http://www.algorithmic-solutions.com/leda/index.htm
5.3 Kürzeste Wege
Wir wollen uns nun mit der Aufgabe beschäftigen, in einem Digraphen mit Bogengewichten
kürzeste gerichtete Wege zu finden. Wir werden Algorithmen vorstellen, die kürzeste
Wege von einem Knoten zu einem anderen oder zu allen anderen oder kürzeste Wege zwischen
zwei Knoten finden. Wir beschränken uns auf Digraphen, da derartige Probleme in
ungerichteten Graphen auf einfache Weise auf gerichtete Probleme reduziert werden können.
Denn ist ein Graph G = (V, E) mit Kantenlängen c(e) ≥ 0 für alle e ∈ E gegeben,
so ordnen wir diesem Graphen den Digraphen D = (V, A) mit A = {(i, j), (j, i) | ij ∈ E}
und c((i, j)) := c((j, i)) := c(ij) zu. Den (ungerichteten) [u, v]-Wegen in G entsprechen
dann die gerichteten (u, v)-Wege bzw. (v, u)-Wege in D und umgekehrt. Einander entsprechende
Wege in G und D haben nach Definition gleiche Längen. Also liefert uns ein
kürzester (u, v)-Weg (oder ein kürzester (v, u)-Weg) in D einen kürzesten [u, v]-Weg in
G.
Kürzeste-Wege-Probleme spielen in der kombinatorischen Optimierung eine große Rolle.
Es ist daher nicht überraschend, dass es zu diesem Problemkreis eine außerordentlich
umfangreiche Literatur und sehr viele Lösungsvorschläge gibt. Wenn man dann noch
Variationen hinzunimmt wie: Berechnung längster Wege oder zuverlässiger Wege, von
Wegen maximaler Kapazität, der k kürzesten Wege, von Wegen mit gerader oder ungerader
Bogenzahl etc., so liefert das den Stoff einer gesamten Vorlesung. Wir wollen in
dieser Vorlesung lediglich drei Algorithmen (für unterschiedliche Spezialfälle) behandeln.
Der Leser, der sich für umfassendere Darstellungen interessiert, sei auf die Bücher Ahuja
et al. (1993), Krumke and Noltemeier (2005), Lawler (1976), Mehlhorn (1984), Domschke
(1972), Schrijver (2003), Syslo et al. (1983) verwiesen. Es werden derzeit immer noch
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