finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5.2 Optimale Bäume und Wälder
Die Laufzeit des Algorithmus (5.12) hängt natürlich sehr stark von den Datenstrukturen
ab, die man zur Ausführung des Schrittes 2 implementiert. Wir können an dieser
Stelle nicht ausführlich auf Implementierungstechniken eingehen und verweisen hierzu
auf Mehlhorn (1984), Vol 2, Kapitel IV, Abschnitt 8. Hier wird gezeigt, dass bei geeigneten
Datenstrukturen eine Laufzeit von O(n log log m) Schritten erreicht werden kann.
Für planare Graphen ergibt sich sogar eine O(n)-Laufzeit.
Spanning-Tree-Algorithmen werden häufig als Unterprogramme zur Lösung von Travelling-Salesman-
und anderen Problemen benötigt. Speziell ist hier eine Implementation
dieser Algorithmen für vollständige Graphen erforderlich. Der nachfolgende Algorithmus
lässt sich gerade für diesen Fall vollständiger Graphen einfach implementieren und hat sowohl
empirisch wie theoretisch günstige Rechenzeiten aufzuweisen. Dieses Verfahren, das
offensichtlich ebenfalls eine Spezialisierung von (5.12) ist, wird häufig PRIM-Algorithmus
genannt.
(5.14) PRIM-Algorithmus.
Eingabe: Zusammenhängender Graph G = (V, E) mit Kantengewichten c(e) für alle
e ∈ E.
Ausgabe: Aufspannender Baum T minimalen Gewichts c(T ).
1. Wähle w ∈ V beliebig, setze T := ∅, W := {w}, V := V \ {w}.
2. Ist V = ∅, dann gib T aus und STOP.
3. Wähle eine Kante uv mit u ∈ W , v ∈ V , so dass c(uv) = min{c(e) | e ∈ δ(W )}.
4. Setze
T := T ∪ {uv}
W := W ∪ {v}
V := V \ {v}
und gehe zu 2. △
Das PRIM-Verfahren hat, bei geeigneten Datenstrukturen, eine Laufzeit von O(m +
n log n) und kann für den vollständigen Graphen Kn so implementiert werden, dass seine
Laufzeit O(n2 ) beträgt, was offenbar bezüglich der Ordnung (also bis auf Multiplikation
mit Konstanten und bis auf lineare Terme) bestmöglich ist, da ja jede der n(n−1)
2 Kanten
mindestens einmal überprüft werden muss. Bereits bei dieser Überprüfung sind O(n2 )
Schritte notwendig. Nachfolgend finden Sie eine Liste eines PASCAL-Programms für
Algorithmus (5.14), das für die Bestimmung minimaler aufspannender Bäume im Kn
konzipiert ist.
(5.15) Algorithmus PASCAL-Implementierung von Algorithmus (5.14).
PROGRAM prim(inp, outp);
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