finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5 Bäume und Wege
Falls T \ {ei} zusammenhängend ist, setze T := T \ {ei}.
4. Gib T aus. △
Der Korrektheitsbeweis für Algorithmus (5.11) bleibt einer Übungsaufgabe überlassen.
Wie bereits erwähnt, gibt es eine Vielzahl weiterer Verfahren zur Bestimmung minimaler
aufspannender Bäume. Ein gemeinsames Skelett für mehrere dieser Algorithmen kann
wie folgt skizziert werden.
(5.12) Algorithmus META-MST.
Eingabe: Zusammenhängender Graph G = (V, E) mit Kantengewichten c(e) für alle
e ∈ E.
Ausgabe: Aufspannender Baum T von G minimalen Gewichts. △
1. (Initialisierung):
FOR ALL i ∈ V DO:
Setze Vi := {i} und Ti := ∅.
2. DO |V | − 1 TIMES:
(a) Wähle eine nicht-leere Menge Vi.
(b) Wähle eine Kante uv ∈ E mit u ∈ Vi, v ∈ V \ Vi und c(uv) ≤ c(pq) für alle
pq ∈ E mit p ∈ Vi, q ∈ V \ Vi.
(c) Bestimme j, so dass v ∈ Vj.
(d) Setze Vi := Vi ∪ Vj; Vj := ∅.
(e) Setze Ti := Ti ∪ Tj ∪ {uv}; Tj := ∅.
3. Gib diejenige Kantenmenge Ti mit Ti = ∅ aus.
Algorithmus (5.9) ist ein Spezialfall von Algorithmus (5.12). Überlegen Sie sich wieso!
(5.13) Satz. Algorithmus (5.12) bestimmt einen minimalen aufspannenden Baum. △
Beweis. Wir zeigen durch Induktion über p = |T1| + . . . + |Tn|, dass G einen minimalen
aufspannenden Baum T enthält mit Ti ⊆ T für alle i. Ist p = 0, so ist nichts zu zeigen.
Sei uv eine Kante, die bei einem Durchlauf von Schritt 2 in (b) gewählt wurde. Nach
Induktionsvoraussetzung sind alle bisher bestimmten Mengen Ti in einem minimalen
aufspannenden Baum T enthalten. Gilt uv ∈ T , so sind wir fertig. Ist uv ∈ T , so enthält
T ∪ {uv} einen Kreis. Folglich muss es eine Kante rs ∈ T geben mit r ∈ Vi, s ∈ V \ Vi.
Aufgrund unserer Wahl in (b) gilt c(uv) ≤ c(rs). Also ist T := (T \{rs})∪{uv} ebenfalls
ein minimaler aufspannender Baum und der neue Baum T erfüllt unsere Bedingungen.
Die Korrektheit des Algorithmus folgt aus dem Fall p = n − 1. ✷
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