finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

Eingabe: Graph G = (V, E) mit Kantengewichten c(e) für alle e ∈ E.
Ausgabe: Maximaler Wald T ⊆ E mit minimalem Gewicht c(T ).
5.2 Optimale Bäume und Wälder
1. (Sortieren): Numeriere die m Kanten des Graphen G, so dass gilt
c(e1) ≤ c(e2) ≤ . . . ≤ c(em).
2. Setze T := ∅.
3. FOR i = 1 TO m DO:
Falls T ∪ {ei} keinen Kreis enthält, setze T := T ∪ {ei}.
4. Gib T aus. △
Aus Satz (5.8) und unseren Überlegungen zur Reduktion des Waldproblems auf das
Baumproblem und umgekehrt folgt:
(5.10) Satz. Algorithmus (5.9) liefert einen maximalen Wald T (d. h. für jede Zusammenhangskomponente
G ′ = (V ′ , E ′ ) von G ist T ∩ E ′ ein aufspannender Baum), dessen
Gewicht c(T ) minimal ist. Ist G zusammenhängend, so ist T ein aufspannender Baum
von G minimalen Gewichts c(T ). △
Die Laufzeit von Algorithmus (5.7) bzw. (5.9) kann man wie folgt abschätzen. Mit
den gängigen Sortierverfahren der Informatik (z. B. HEAP-SORT) kann man die Kanten
von E in O(k log 2 k) bzw. O(m log 2 m) Schritten in der geforderten Weise ordnen. In
Schritt 3 ruft man k- bzw. m-mal ein Unterprogramm auf, das überprüft, ob eine Kantenmenge
einen Kreis besitzt oder nicht. Durch Benutzung geeigneter Datenstrukturen
kann man einen derartigen Aufruf in höchstens O(n) Schritten abarbeiten. Daraus folgt,
dass Schritt 3 in höchstens O(mn) Schritten ausgeführt werden kann. Dies ist auch die
Gesamtlaufzeit des Verfahrens. Mit speziellen “Implementierungstricks” kann die Laufzeit
von Schritt 3 auf O(m + n log n) gesenkt und damit die Gesamtlaufzeit sogar auf
O(m log m) Schritte reduziert werden. In der Literatur wird Algorithmus (5.9) häufig
Kruskal-Algorithmus genannt.
Einen gewichtsminimalen aufspannenden Baum kann man übrigens auch mit folgendem
Verfahren finden.
(5.11) “Dualer” Greedy-Algorithmus.
Eingabe: Zusammenhängender Graph G = (V, E) mit Kantengewichten c(e) für alle
e ∈ E.
Ausgabe: Aufspannender Baum T ⊆ E minimalen Gewichts c(T ).
1. (Sortieren): Numeriere die m Kanten des Graphen G, so dass gilt
c(e1) ≥ c(e2) ≥ . . . ≥ c(em).
2. Setze T := E.
3. FOR i = 1 TO m DO:
83