finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5 Bäume und Wege
Haben wir einen Algorithmus, der einen minimalen aufspannenden Baum in einem
Graphen findet, und wollen wir einen maximalen Wald in einem Graphen G = (V, E)
mit Kantengewichten ce, e ∈ E, bestimmen, so sei Kn = (V, En) der vollständige Graph
mit n = |V | Knoten und folgenden Kantengewichten
wobei wir z. B. setzen
c ′ e := −ce für alle e ∈ E mit ce > 0,
c ′ e := M für alle e ∈ En \ {e ∈ E | ce > 0},
M := n · (max{|ce| | e ∈ E} + 1).
Ist B ein minimaler aufspannender Baum von Kn bezüglich der Kantengewichte c ′ , dann
ist offenbar aufgrund unserer Konstruktion W := B \ {e ∈ B | c ′ e = M} ein Wald in G
maximalen Gewichts.
Der folgende sehr einfache Algorithmus findet einen maximalen Wald.
(5.7) Algorithmus GREEDY-MAX.
Eingabe: Graph G = (V, E) mit Kantengewichten c(e) für alle e ∈ E.
Ausgabe: Wald W ⊆ E mit maximalem Gewicht c(W ).
1. (Sortieren): Ist k die Anzahl der Kanten von G mit positivem Gewicht, so numeriere
diese k Kanten, so dass gilt c(e1) ≥ c(e2) ≥ . . . ≥ c(ek) > 0.
2. Setze W := ∅.
3. FOR i = 1 TO k DO:
Falls W ∪ {ei} keinen Kreis enthält, setze W := W ∪ {ei}.
4. Gib W aus. △
(5.8) Satz. Der Algorithmus GREEDY-MAX arbeitet korrekt. △
Beweis. Hausaufgabe! ✷
Versuchen Sie, einen direkten Beweis für die Korrektheit von Algorithmus (5.7) zu finden.
Im nachfolgenden Teil dieses Abschnitts und in Kapitel 5 werden wir Sätze angeben,
aus denen Satz (5.8) folgt.
Der obige Algorithmus heißt “Greedy-Max” (“greedy” bedeutet “gierig” oder “gefräßig”),
weil er versucht, das bezüglich der Zielfunktionskoeffizienten jeweils “Beste” zu
nehmen, das im Augenblick noch verfügbar ist. Wir werden später noch andere Algorithmen
vom Greedy-Typ kennenlernen, die bezüglich anderer Kriterien das “Beste” wählen.
Der Greedy-Algorithmus funktioniert auf analoge Weise für das Minimum Spanning Tree
Problem.
(5.9) Algorithmus GREEDY-MIN.
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