finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

(2) D ist ein Baum mit Wurzel.
(3) D hat n − 1 Bögen und ist quasi-stark zusammenhängend.
(4) D enthält keinen Kreis und ist quasi-stark zusammenhängend.
5.2 Optimale Bäume und Wälder
(5) D enthält einen Knoten r, so dass es in D für jeden anderen Knoten v genau einen
gerichteten (r, v)-Weg gibt.
(6) D ist quasi-stark zusammenhängend, und für alle a ∈ A ist D − a nicht quasi-stark
zusammenhängend.
(7) D ist quasi-stark zusammenhängend, besitzt einen Knoten r mit deg − (r) = 0 und
erfüllt deg − (v) = 1 für alle v ∈ V \{r}.
(8) D ist ein Baum, besitzt einen Knoten r mit deg − (r) = 0 und erfüllt deg − (v) = 1 für
alle v ∈ V \{r}.
(9) D enthält keinen Kreis, einen Knoten r mit deg − (r) = 0 und erfüllt deg − (v) = 1
für alle v ∈ V \{r}. △
5.2 Optimale Bäume und Wälder
Das Problem, in einem Graphen mit Kantengewichten einen aufspannenden Baum minimalen
Gewichts oder einen Wald maximalen Gewichts zu finden, haben wir bereits in
(3.11) eingeführt. Beide Probleme sind sehr effizient lösbar und haben vielfältige Anwendungen.
Umfassende Überblicke über die Geschichte dieser Probleme, ihre Anwendungen
und die bekannten Lösungsverfahren geben die Aufsätze Graham and Hell (1982) und
Nešetřil and Nešetřilová (2012) sowie Kapitel 50 des Buches von Schrijver (2003), volume
B.
Wir wollen hier jedoch nur einige dieser Lösungsmethoden besprechen. Zunächst wollen
wir uns überlegen, dass die beiden Probleme auf sehr direkte Weise äquivalent sind.
Angenommen wir haben einen Algorithmus zur Lösung eines Maximalwald-Problems,
und wir wollen in einem Graphen G = (V, E) mit Kantengewichten ce, e ∈ E, einen
minimalen aufspannenden Baum finden, dann gehen wir wie folgt vor. Wir setzen
M := max{|ce| | e ∈ E} + 1,
c ′ e := M − ce
und bestimmen einen maximalen Wald W in G bezüglich der Gewichtsfunktion c ′ . Falls
G zusammenhängend ist, ist W ein aufspannender Baum, denn andernfalls gäbe es eine
Kante e ∈ E, so dass W ′ := W ∪{e} ein Wald ist, und wegen c ′ e > 0, wäre c ′ (W ′ ) > c ′ (W ).
Aus der Definition von c ′ folgt direkt, dass W ein minimaler aufspannender Baum von G
bezüglich c ist. Ist W nicht zusammenhängend, so ist auch G nicht zusammenhängend,
also existiert kein aufspannender Baum.
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