finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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5.1 Graphentheoretische Charakterisierungen<br />
noch zu diesen Nachbarn führen. Wir setzen dieses Verfahren fort, bis wir keinen Knoten<br />
mehr markieren können. Am Ende haben wir höchstens m Kanten entfernt sowie v und<br />
maximal m weitere Knoten markiert. Da m < |V | − 1 gilt, ist min<strong>des</strong>tens ein Knoten<br />
unmarkiert, also nicht von v aus auf einem Weg erreichbar. Daher ist G unzusammenhängend.<br />
✷<br />
Der nächste Satz zeigt, dass die Eigenschaft, ein Baum zu sein, auf viele äquivalente<br />
Weisen charakterisiert werden kann.<br />
(5.4) Satz. Sei G = (V, E), |V | = n ≥ 2 ein Graph. Dann sind äquivalent:<br />
(1) G ist ein Baum.<br />
(2) G enthält keinen Kreis und n − 1 Kanten.<br />
(3) G ist zusammenhängend und enthält n − 1 Kanten.<br />
(4) G ist zusammenhängend und enthält keinen Kreis.<br />
(5) Je<strong>des</strong> Knotenpaar aus V ist durch genau einen Weg miteinander verbunden.<br />
(6) G enthält keinen Kreis; wird irgendeine Kante uv mit u, v ∈ V und uv ∈ E zu G<br />
hinzugefügt, so entsteht genau ein Kreis.<br />
(7) G ist zusammenhängend, und für alle e ∈ E ist G − e unzusammenhängend. △<br />
Beweis. (1) ⇐⇒ (4) Definition.<br />
(4) =⇒ (5) Da G zusammenhängend ist, ist je<strong>des</strong> Knotenpaar durch einen Weg miteinander<br />
verbunden. Gibt es zwischen einem Knotenpaar zwei verschiedene Wege, so<br />
ist die Verknüpfung dieser beiden Wege eine geschlossene Kette, die offensichtlich<br />
einen Kreis enthält. Widerspruch!<br />
(5) =⇒ (6) Enthielte G einen Kreis, so gäbe es Knotenpaare, die durch zwei verschiedene<br />
Wege miteinander verbunden sind. Also enthält G keinen Kreis. Sei uv ∈ E. Da G<br />
einen [u, v]-Weg P enthält, ist P ∪ uv ein Kreis. Gäbe es in G + uv einen weiteren<br />
Kreis, so gäbe es in G zwei verschiedene [u, v]-Wege, ein Widerspruch!<br />
(6) =⇒ (7) Gibt es für uv ∈ E in G + uv einen Kreis, so gibt es in G einen [u, v]-Weg.<br />
Daraus folgt, dass G zusammenhängend ist. Gibt es eine Kante uv ∈ E mit G − uv<br />
zusammenhängend, so gibt es in G − uv einen [u, v]-Weg P . Dann aber ist P ∪ uv<br />
ein Kreis in G, Widerspruch!<br />
(7) =⇒ (4) Gäbe es in G einen Kreis, so wäre G − e für jede Kante e dieses Kreises<br />
zusammenhängend. Also enthält G keinen Kreis.<br />
(4) =⇒ (2) folgt aus Lemma (5.2).<br />
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