finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5 Bäume und Wege
Der Beweis ist etwas länglich geraten. Der Grund dafür ist, einmal zu zeigen, wie
durch einfache Analyse eines sehr einfachen Algorithmus Eigenschaften von Graphen
nachgewiesen werden können. Was können Sie aus diesem Beweisverfahren „herausholen“,
wenn Sie den Algorithmus statt mit einem beliebigen Knoten v mit einem Knoten v mit
maximalem Grad beginnen?
(5.2) Lemma. Sei G = (V, E) ein Graph.
(a) Es gilt: 2|E| =
v∈V deg(v).
(b) Ist G ein Baum, so gilt: |E| = |V | − 1.
(c) Gilt deg(v) ≥ 2 für alle v ∈ V , so enthält G einen Kreis. △
Beweis. (a) Da jede Kante genau zwei (nicht notwendig verschiedene) Knoten enthält,
wird bei der Summe der Knotengerade jede Kante genau zweimal gezählt.
(b) Beweis durch Induktion! Die Behauptung ist offensichtlich richtig für |V | = 1 und
|V | = 2. Wir nehmen an, dass die Behauptung korrekt ist für alle Bäume mit höchstens
n ≥ 2 Knoten. Sei G = (V, E) ein Baum mit n + 1 Knoten. Nach Lemma (5.1)
enthält G einen Knoten v mit Grad 1. G − v ist dann ein Baum mit n Knoten. Nach
Induktionsvoraussetzung hat G − v genau n − 1 Kanten, also enthält G genau n
Kanten.
(c) Enthält G Schlingen, so ist nichts zu zeigen, da Schlingen Kreise sind. Andernfalls
führen wir folgenden Markierungsalgorithmus aus. Wir wählen einen beliebigen Knoten
v1 und markieren ihn. Wir wählen einen beliebigen Nachbarn v2 von v1 und markieren
sowohl v2 als auch die Kante v1v2. Haben wir die Knoten v1, . . . , vk, k ≥ 2,
markiert, so enthält G, da deg(v) ≥ 2, eine von der markierten Kante vk−1vk verschiedene
Kante vkvk+1 zu einem vk-Nachbarn vk+1. Ist vk+1 bereits markiert, so
ist vk+1 einer der bereits markierten Knoten, sagen wir vi, 1 ≤ i ≤ k. Daher bildet
die Knotenfolge (vi, vi+1, . . . , vk) einen Kreis. Ist vk+1 nicht markiert, so markieren
wir vk+1 und die Kante vkvk+1 und fahren mit unserem Markierungsalgorithmus fort.
Da |V | endlich ist, wird nach endlich vielen Schritten die Situation eintreten, dass
jeder Nachbar des gerade markierten Knotens vk bereits markiert ist. Und damit ist
ein Kreis gefunden. ✷
(5.3) Lemma. Ein Graph G = (V, E) mit mindestens 2 Knoten und mit weniger als
|V | − 1 Kanten ist unzusammenhängend. △
Beweis. Sei m := |E|. Wäre G zusammenhängend, müsste es in G von jedem Knoten
zu jedem anderen einen Weg geben. Wir führen einen Markierungsalgorithmus aus. Wir
wählen einen beliebigen Knoten v ∈ V und markieren v. Wir markieren alle Nachbarn
von v und entfernen die Kanten, die von v zu seinen Nachbarn führen. Wir gehen nun
zu einem markierten Knoten, markieren dessen Nachbarn und entfernen die Kanten, die
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