finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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5 Bäume und Wege<br />
Dieses Kapitel ist einem Thema gewidmet, das algorithmisch sehr einfach zu lösen ist:<br />
Bestimme einen kostenminimalen aufspannenden Baum in einem Graphen. Wir werden<br />
Varianten dieser Aufgabe und auch „gerichtete <strong>Version</strong>en“ betrachten.<br />
Bevor wir jedoch algorithmischen Fragen nachgehen, sollen Wälder aus graphentheoretischer<br />
Sicht analysiert werden. Das Ziel <strong>des</strong> ersten Abschnitts dieses Kapitels ist nicht<br />
eine umfassende Behandlung <strong>des</strong> Themenkreises, sondern das Einüben typischer graphentheoretischer<br />
Beweisargumente. Bäume sind sehr einfache Objekte. Die meisten Eigenschaften<br />
von Bäumen können mit minimalem Aufwand nachgewiesen werden. Die dabei<br />
benutzten Argumente tauchen jedoch in der Graphentheorie – meistens in etwas komplizierterer<br />
Form – immer wieder auf. Wir hoffen, diese Beweistechniken hier sichtbar<br />
machen zu können.<br />
5.1 Graphentheoretische Charakterisierungen von Bäumen<br />
und Arboreszenzen<br />
Wir erinnern daran, dass ein Graph, der keinen Kreis enthält, Wald genannt wird, dass<br />
ein Graph G zusammenhängend heißt, wenn es in G zwischen je zwei Knoten eine sie<br />
verbindende Kette (oder äquivalent dazu, einen sie verbindenden Weg) gibt, und dass<br />
ein Baum ein zusammenhängender Wald ist. Ein Untergraph eines Graphen G = (V, E),<br />
der ein Baum ist und alle Knoten V enthält, heißt aufspannender Baum (von G). Eine<br />
Zusammenhangskomponente (kurz: Komponente) eines Graphen G ist ein maximaler zusammenhängender<br />
Untergraph von G. Wir werden nun einige Eigenschaften von Bäumen<br />
und Wäldern beweisen. Wir beginnen mit trivialen Beobachtungen.<br />
(5.1) Lemma. Ein Baum G = (V, E) mit min<strong>des</strong>tens zwei Knoten hat min<strong>des</strong>tens<br />
zwei Knoten mit Grad 1. △<br />
Beweis. Da ein Baum zusammenhängend ist, liegt jeder Knoten auf min<strong>des</strong>tens einer<br />
Kante. Wir wählen einen beliebigen Knoten, sagen wir v. Wir starten in v einen (vereinfachten)<br />
DFS-Algorithmus. Wir markieren v und gehen zu einem Nachbarn, sagen wir w,<br />
von v. Wir markieren w. Hat w den Grad 1, stoppen wir die Suche. Andernfalls gehen wir<br />
zu einem von v verschiedenen Nachbarn von w und fahren so fort. Da ein Baum keinen<br />
Kreis enthält, kehrt dieses Verfahren niemals zu einem bereits markierten Knoten zurück.<br />
Da der Graph endlich ist, muss das Verfahren irgendwann mit einem Knoten mit Grad 1<br />
aufhören. Hat der Anfangsknoten v auch Grad 1, können wir aufhören. Falls nicht, gehen<br />
wir zu einem von w verschiedenen Nachbarn von v und wiederholen das obige Verfahren.<br />
Auf diese Weise finden wir einen zweiten Knoten mit Grad 1. ✷<br />
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