finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

4.3 Datenstrukturen zur Speicherung von Graphen
mit x inzidente Kante, die noch nicht benutzt wurde. Ist y nicht markiert, dann gehen
wir zu y, markieren y und beginnen von neuem (y ist nun der letzte markierte Knoten).
Wenn die Suche nach Kanten, die mit y inzidieren und die noch nicht benutzt wurden,
beendet ist (d. h. alle Kanten, auf denen y liegt, wurden einmal berührt), kehren wir zu x
zurück und fahren mit der Suche nach unbenutzten Kanten, die mit x inzidieren fort, bis
alle Kanten, die x enthalten, abgearbeitet sind. Diese Methode nennt man Tiefensuche,
da man versucht, einen Knoten so schnell wie möglich zu verlassen und „tiefer“ in den
Graphen einzudringen.
Eine derartige Tiefensuche teilt die Kanten des Graphen in zwei Teilmengen auf. Eine
Kante xy heißt Vorwärtskante, falls wir bei der Ausführung des Algorithmus von einem
markierten Knoten x entlang xy zum Knoten y gegangen sind und dabei y markiert
haben. Andernfalls heißt xy Rückwärtskante. Man überlegt sich leicht, dass die Menge
der Vorwärtskanten ein Wald von G ist, der in jeder Komponente von G einen aufspannenden
Baum bildet. Ist der Graph zusammenhängend, so nennt man die Menge der
Vorwärtskanten DFS-Baum von G. Mit Hilfe von Adjazenzlisten kann die Tiefensuche
sehr effizient rekursiv implementiert werden.
(4.6) Algorithmus Depth-First-Search.
Eingabe: Graph G = (V, E) in Form einer Adjazenzliste, d. h. für jeden Knoten v ∈ V
ist eine Nachbarliste N(v) gegeben.
Ausgabe: Kantenmenge T (= DFS-Baum, falls G zusammenhängend ist).
1: Alle Knoten v ∈ V seien unmarkiert.
2: Setze T := ∅.
3: for all v ∈ V do
4: Ist v unmarkiert, dann rufe SEARCH(v) auf.
5: end for
6: Gib T aus.
7: procedure SEARCH(v) ⊲ Rekursives Unterprogramm
8: Markiere v.
9: for all w ∈ N(v) do
10: Ist w unmarkiert, setze T := T ∪ {vw} und rufe SEARCH(w) auf.
11: end for
12: end procedure
In Algorithmus (4.6) wird im Hauptprogramm jeder Knoten einmal berührt, und im
Unterprogramm jede Kante genau zweimal. Hinzu kommt die Ausgabe von T . Die Laufzeit
des Verfahrens ist also O(|V | + |E|). Diese Laufzeit könnte man niemals bei der
Speicherung von G in einer Adjazenzmatrix erreichen.
Mit Hilfe des obigen Verfahrens können wir unser mehrmals zitiertes Problem „Enthält
G einen Kreis?“ lösen. Offensichtlich gilt: G enthält genau dann einen Kreis, wenn
E \ T nicht leer ist. Wir haben somit einen polynomialen Algorithmus zur Lösung des
Kreisproblems gefunden. Der DFS-Baum, von Algorithmus (4.6) produziert, hat einige
interessante Eigenschaften, die man dazu benutzen kann, eine ganze Reihe von weiteren
Graphenproblemen sehr effizient zu lösen. Der hieran interessierte Leser sei z. B. auf das
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