finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

4.3 Datenstrukturen zur Speicherung von Graphen
aji = aij = Anzahl der Kanten, die i und j verbinden, falls i = j
= 2 · (Anzahl der Schleifen, die i enthalten), i = 1, . . . , n
aii
die Adjazenzmatrix von G. Aufgrund der Symmetrie kann man etwa die Hälfte der
Speicherplätze sparen. Hat ein Graph keine Schleifen (unser Normalfall), dann genügt es,
die obere (oder untere) Dreiecksmatrix von A zu speichern. Man macht das z. B. in der
Form
a12, a13, . . . , a1n, a23, a24, . . . , a2n, a34, . . . , an−1,n.
Die Adjazenzmatrix des Graphen in Abbildung 4.1 sieht wie folgt aus:
⎛
0 1 1
⎞
0
⎜
⎜1
⎝1
2
2
2
0
0 ⎟
1⎠
0 0 1 0
Hat ein Graph Kantengewichte, und ist er einfach, so setzt man
aij = Gewicht der Kante ij, i, j = 1, . . . , n.
Ist eine Kante ij nicht im Graphen G enthalten, so setzt man
aij = 0, aij = −∞ oder aij = +∞,
je nachdem, welche Gewichtszuordnung für das Problem sinnvoll ist und die Benutzung
dieser Kante ausschließt. Wiederum braucht man von der so definierten Matrix A nur
die obere Dreiecksmatrix zu speichern.
Die Adjazenzmatrix A = (aij) eines Digraphen D = (V, E) mit V = {1, 2, . . . , n} ohne
Schleifen ist definiert durch
aii = 0, i = 1, 2, . . . , n
aij = Anzahl der Bögen in E mit Anfangsknoten i und Endknoten j, i = j.
Bogengewichte werden wie bei Adjazenzmatrizen von Graphen behandelt. Der Speicheraufwand
von Adjazenzmatrizen beträgt n2 bzw. n
2 Speicherplätze, falls bei einem
ungerichteten Graphen nur die obere Dreiecksmatrix gespeichert wird.
4.3.3 Adjazenzlisten
Speichert man für einen Graphen G = (V, E) die Anzahl der Knoten und für jeden
Knoten v ∈ V seinen Grad und die Namen der Nachbarknoten, so nennt man eine
solche Datenstruktur Adjazenzliste von G. Für den Graphen aus Abbildung 4.1 sieht die
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