finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

4
4.3 Datenstrukturen zur Speicherung von Graphen
1 2
Abbildung 4.1: Ungerichteter Graph zur Kantenliste 4, 6, 1, 2, 2, 3, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 3.
terminiert und „ja“ oder „nein“ antwortet. Das Halteproblem ist nun das folgende: Gegeben
seien eine Turing-Maschine M und eine Eingabe w, hält M auf w? Dieses Halteproblem
ist beweisbar unentscheidbar. Der Satz von Rice zeigt noch etwas viel Stärkeres. Alle
„interessanten“ (das kann man präzise definieren) Eigenschaften von Turing-Maschinen
sind unentscheidbar.
David Hilbert hat im Jahr 1900 eine Liste von 23 wichtigen, seinerzeit ungelösten,
mathematischen Problemen vorgelegt. Sein zehntes Problem lautete: Gibt es einen Algorithmus,
der für eine beliebige diophantische Gleichung entscheidet, ob sie lösbar ist?
Diophantische Gleichungen sind von der Form p(x1, . . . , xn) = 0, wobei p ein Polynom
mit ganzzahligen Koeffizienten ist. J. Matijassewitsch hat 1970 in seiner Dissertation bewiesen,
dass es keinen solchen Algorithmus gibt. Um Lösungen von allgemeinen diophantischen
Gleichungen zu finden, muss man also spezielle Fälle betrachten, gute Einfälle
und Glück haben.
4.3 Datenstrukturen zur Speicherung von Graphen
Wir wollen hier einige Methoden skizzieren, mit deren Hilfe man Graphen und Digraphen
speichern kann, und ihre Vor- und Nachteile besprechen. Kenntnisse dieser Datenstrukturen
sind insbesondere dann wichtig, wenn man laufzeit- und speicherplatzeffiziente (oder
gar -optimale) Codes von Algorithmen entwickeln will.
4.3.1 Kanten- und Bogenlisten
Die einfachste Art, einen Graphen oder Digraphen zu speichern, ist die Kantenliste für
Graphen bzw. die Bogenliste für Digraphen. Ist G = (V, E) ein Graph mit n = |V |
Knoten und m = |E| Kanten, so sieht eine Kantenliste wie folgt aus:
n, m, a1, e1, a2, e2, a3, e3, . . . , am, em,
wobei ai, ei die beiden Endknoten der Kante i sind. Die Reihenfolge des Aufführens der
Endknoten von i bzw. den Kanten selbst ist beliebig. Bei Schleifen wird der Endknoten
zweimal aufgelistet.
Eine mögliche Kantenliste für den Graphen aus Abbildung 4.1 ist die folgende:
4, 6, 1, 2, 2, 3, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 3.
3
69