finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

4.2 Die Klassen P und N P, N P-Vollständigkeit
Wir fragen nun den Algorithmus zur Lösung des TSP-Entscheidungsproblems, ob es eine
Rundreise gibt, deren Länge nicht größer als nt
2 ist. Ist das so, fragen wir, ob es eine
Rundreise gibt, deren Länge höchstens nt ist, andernfalls fragen wir, ob es eine Rundrei-
4
se gibt mit Länge höchstens 3nt
4 . Wir fahren auf diese Weise fort, bis wir das Intervall
ganzer Zahlen, die als mögliche Länge einer kürzesten Rundreise in Frage kommen, auf
eine einzige Zahl reduziert haben. Diese Zahl muss dann die Länge der kürzesten Rundreise
sein. Insgesamt haben wir zur Lösung des Optimierungsproblems das zugehörige
TSP-Entscheidungsproblem (⌈log2(nt)⌉ + 1)-mal aufgerufen, also eine polynomiale Anzahl
von Aufrufen eines Algorithmus vorgenommen. Dieser Algorithmus findet also in
polynomialer Zeit die Länge einer kürzesten Rundreise – bei einem gegebenen polynomialen
Algorithmus für das zugehörige Entscheidungsproblem. (Überlegen Sie sich, ob
— und gegebenenfalls wie — man eine kürzeste Rundreise finden kann, wenn man ihre
Länge kennt!)
Dem aufmerksamen Leser wird nicht entgangen sein, dass die oben beschriebene Methode
zur Reduktion des Travelling-Salesman-Problems auf das zugehörige Entscheidungsproblem
nichts anderes ist als das bekannte Verfahren der binären Suche.
Mit diesem oder ähnlichen „Tricks“ lassen sich viele Optimierungsprobleme durch mehrfachen
Aufruf von Algorithmen für Entscheidungsprobleme lösen. Wir nennen ein Optimerungsproblem
Π N P-leicht, falls es ein Entscheidungsproblem Π ′ in N P gibt, so
dass Π durch polynomial viele Aufrufe eines Algorithmus zur Lösung von Π ′ gelöst werden
kann. N P-leichte Probleme sind also nicht schwerer als die Probleme in N P. Unser
Beispiel oben zeigt, dass das TSP auch N P-leicht ist.
Wir nennen ein Optimierungsproblem N P-äquivalent, wenn es sowohl N P-leicht als
auch N P-schwer ist. Diese Bezeichnung ist im folgenden Sinne gerechtfertigt. Ein N Päquivalentes
Problem ist genau dann in polynomialer Zeit lösbar, wenn P = N P gilt.
Wenn jemand einen polynomialen Algorithmus für das TSP findet, hat er damit gleichzeitig
P = N P bewiesen.
Wir wollen im Weiteren dem allgemein üblichen Brauch folgen und die feinen Unterschiede
zwischen den oben eingeführten Bezeichnungen für Entscheidungs- und Optimierungsprobleme
nicht so genau nehmen. Wir werden häufig einfach von N P-vollständigen
Optimierungsproblemen sprechen, wenn diese N P-schwer sind. Die Begriffe N P-leicht
und N P-äquivalent werden wir kaum gebrauchen, da sie für unsere Belange nicht so
wichtig sind.
Die folgenden Beispiele von kombinatorischen Optimierungsproblemen, die wir in früheren
Abschnitten eingeführt haben, sind N P-schwer:
• das symmetrische Travelling Salesman Problem
• das asymmetrische Travelling Salesman Problem
• das Chinesische Postbotenproblem für gemischte Graphen
• fast alle Routenplanungsprobleme
• das Stabile-Mengen-Problem
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