finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

4.2 Die Klassen P und N P, N P-Vollständigkeit
im weiteren nur solche Entscheidungsprobleme betrachten, für die Lösungsalgorithmen
mit endlicher Laufzeitfunktion existieren.
Die Klasse aller derjenigen Entscheidungsprobleme, für die ein polynomialer Lösungsalgorithmus
existiert, wird mit P bezeichnet. Diese Definition ist recht informell. Wenn
wir genauer wären, müßten wir P relativ zu einem Kodierungsschema und zu einem
Rechnermodell definieren. Die Definition würde dann etwa wie folgt lauten. Gegeben sei
ein Kodierungsschema E und ein Rechnermodell M, Π sei ein Entscheidungsproblem,
wobei jedes Problembeispiel aus Π durch das Kodierungsschema E kodiert werden kann.
Π gehört zur Klasse P (bezüglich E und M), wenn es einen auf M implementierbaren
Algorithmus zur Lösung der Problembeispiele aus Π gibt, dessen Laufzeitfunktion auf
M polynomial ist. Wir wollen im weiteren derartig komplizierte und unübersichtliche
Definitionen vermeiden und werden auf dem (bisherigen) informellen Niveau bleiben in
der Annahme, die wesentlichen Anliegen ausreichend klar machen zu können.
Wir werden im Abschnitt 4.3 sehen, dass das Problem „Enthält ein Graph einen Kreis?“
zur Klasse P gehört. Aber trotz enormer Anstrengungen sehr vieler Forscher ist es noch
nicht gelungen, das Problem „Enthält ein Graph einen hamiltonschen Kreis“ in polynomialer
Zeit zu lösen.
Diese Frage ist „offenbar“ schwieriger. Um zwischen den Problemen in P und den
„schwierigeren“ formal unterscheiden zu können, sind die folgenden Begriffe geprägt worden.
Wir sagen – zunächst einmal informell –, dass ein Entscheidungsproblem Π zur Klasse
N P gehört, wenn es die folgende Eigenschaft hat: Ist die Antwort für ein Problembeispiel
I ∈ Π „ja“, dann kann die Korrektheit der Antwort in polynomialer Zeit überprüft
werden.
Bevor wir etwas genauer werden, betrachten wir ein Beispiel. Wir wollen herausfinden,
ob ein Graph einen hamiltonschen Kreis enthält. Jeden Graphen können wir (im Prinzip)
auf ein Blatt Papier zeichnen. Hat der gegebene Graph einen hamiltonschen Kreis, und
hat jemand (irgendwie) einen solchen gefunden und alle Kanten des Kreises rot angestrichen,
dann können wir auf einfache Weise überprüfen, ob die rot angemalten Kanten
tatsächlich einen hamiltonschen Kreis darstellen. Bilden sie einen solchen Kreis, so haben
wir die Korrektheit der „ja“-Antwort in polynomialer Zeit verifiziert.
Nun die ausführliche Definition:
(4.3) Definition. Ein Entscheidungsproblem Π gehört zur Klasse N P, wenn es die
folgenden Eigenschaften hat:
1. Für jedes Problembeispiel I ∈ Π, für das die Antwort „ja“ lautet, gibt es mindestens
ein Objekt Q, mit dessen Hilfe die Korrektheit der „ja“-Antwort überprüft werden
kann.
2. Es gibt einen Algorithmus, der Problembeispiele I ∈ Π und Zusatzobjekte Q als
Input akzeptiert und der in einer Laufzeit, die polynomial in 〈I〉 ist, überprüft, ob
Q ein Objekt ist, aufgrund dessen Existenz eine „ja“-Antwort für I gegeben werden
muss. △
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