finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

4 Komplexitätstheorie und Speicherung von Graphen
Entfernungstabelle in einem Autoatlas definiert ein konkretes Beispiel für das Travelling-
Salesman-Problem.
Aus mathematischer Sicht kann man es sich einfach machen: Ein Problem ist die
Menge aller Problembeispiele. Das Travelling-Salesman-Problem ist also die Menge aller
TSP-Instanzen. Das ist natürlich nicht sonderlich tiefsinnig, vereinfacht aber die mathematische
Notation.
Wir sagen, dass ein Algorithmus Problem Π löst, wenn er für jedes Problembeispiel
I ∈ Π eine Lösung findet. Das Ziel des Entwurfs von Algorithmen ist natürlich, möglichst
„effiziente“ Verfahren zur Lösung von Problemen zu finden.
Um dieses Ziel mit Inhalt zu füllen, müssen wir den Begriff „Effizienz“ meßbar machen.
Mathematiker und Informatiker haben hierzu verschiedene Komplexitätsmaße definiert.
Wir werden uns hier nur mit den beiden für uns wichtigsten Begriffen Zeit- und Speicherkomplexität
beschäftigen. Hauptsächlich werden wir über Zeitkomplexität reden.
Es ist trivial, dass die Laufzeit eines Algorithmus abhängt von der „Größe“ eines Problembeispiels,
d. h. vom Umfang der Eingabedaten. Bevor wir also Laufzeitanalysen anstellen
können, müssen wir beschreiben, wie wir unsere Problembeispiele darstellen, bzw.
kodieren wollen. Allgemein kann man das durch die Angabe von Kodierungsschemata
bewerkstelligen. Da wir uns jedoch ausschließlich mit Problemen beschäftigen, die mathematisch
darstellbare Strukturen haben, reicht es für unsere Zwecke aus, Kodierungsvorschriften
für die uns interessierenden Strukturen anzugeben. Natürlich gibt es für jede
Struktur beliebig viele Kodierungsmöglichkeiten. Wir werden die geläufigsten benutzen
und merken an, dass auf diesen oder dazu (in einem spezifizierbaren Sinn) äquivalenten
Kodierungsvorschriften die gesamte derzeitige Komplexitätstheorie aufbaut.
Ganze Zahlen kodieren wir binär. Die binäre Darstellung einer nicht-negativen ganzen
Zahl n benötigt ⌈log2(|n|+1)⌉ Bits (oder Zellen). Hinzu kommt ein Bit für das Vorzeichen.
Die Kodierungslänge 〈n〉 einer ganzen Zahl n ist die Anzahl der zu ihrer Darstellung
notwendigen Bits, d. h.
〈n〉 := ⌈log2(|n| + 1)⌉ + 1. (4.1)
Jede rationale Zahl r hat eine Darstellung r = p
mit p, q ∈ Z, p und q teilerfremd und
q > 0. Wir nehmen an, dass jede rationale Zahl so dargestellt ist, und können daher
gegeben ist durch
sagen, dass die Kodierungslänge von r = p
q
q
〈r〉 := 〈p〉 + 〈q〉.
Wir werden im Weiteren auch sagen, dass wir eine ganze oder rationale Zahl r in einem
Speicherplatz (oder Register) speichern, und wir gehen davon aus, dass der Speicherplatz
für r die benötigten 〈r〉 Zellen besitzt.
Die Kodierungslänge eines Vektors x = (x1, . . . , xn) T ∈ Q n ist
〈x〉 :=
n
〈xi〉,
i=1
und die Kodierungslänge einer Matrix A ∈ Q (m,n) ist
m n
〈A〉 := 〈aij〉.
60
i=1 j=1