finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

4 Komplexitätstheorie und Speicherung
von Graphen
In diesem Kapitel führen wir einige der Grundbegriffe der Komplexitätstheorie ein, die
für die algorithmische Graphentheorie und die kombinatorische Optimierung von Bedeutung
sind. Wir behandeln insbesondere die Klassen P und N P und das Konzept der
N P-Vollständigkeit. Die Darstellung erfolgt auf informellem Niveau. Gute Bücher zur
Einführung in die Komplexitätstheorie sind Garey and Johnson (1979), Papadimitriou
(1994) und Wegener (2003), weiterführende Aspekte werden unter anderem in Wagner
and Wechsung (1986) und van Leeuwen (1990) behandelt. Shmoys and Tardos (1995)
ist ein guter Übersichtsartikel. Einen detaillierten Überblick über Komplexitätsklassen
gibt Johnson (1990), noch mehr Komplexitätsklassen findet man unter der URL:
http://qwiki.caltech.edu/wiki/Complexity_Zoo.
Komplexitätstheorie kann man nicht ohne Grundkenntnisse in Kodierungstechniken
betreiben. Noch wichtiger aber sind Datenstrukturen beim Entwurf effizienter Algorithmen.
Diesen Themenkreis streifen wir kurz in Abschnitt 4.3. Zur Vertiefung dieses Gebietes
empfehlen wir Aho et al. (1974), Cormen et al. (2001), Mehlhorn (1984), Meinel
(1991), Ottmann and Widmayer (2012) und Tarjan (1983). Ein Handbuch zu Datenstrukturen
mit breiten Übersichtsartikeln ist Mehta and Sahni (2004).
4.1 Probleme, Komplexitätsmaße, Laufzeiten
In der Mathematik (und nicht nur hier) kann das Wort „Problem“ sehr verschiedene
Bedeutungen haben. Für unsere Zwecke benötigen wir eine (einigermaßen) präzise Definition.
Ein Problem ist eine allgemeine Fragestellung, bei der mehrere Parameter offen
gelassen sind und für die eine Lösung oder Antwort gesucht wird.
Ein Problem ist dadurch definiert, dass alle seine Parameter beschrieben werden und
dass genau angegeben wird, welche Eigenschaften eine Antwort (Lösung) haben soll.
Sind alle Parameter eines Problems mit expliziten Daten belegt, dann spricht man im
Englischen von einem „problem instance“. Im Deutschen hat sich hierfür bisher kein Standardbegriff
ausgeprägt. Es sind u. a. die Wörter Einzelfall, Fallbeispiel, Problembeispiel,
Probleminstanz oder Problemausprägung gebräuchlich. Ebenso wird auch das (allgemeine)
Problem manchmal als Problemtyp oder Problemklasse bezeichnet. In diesem Skript
werden wir keiner starren Regel folgen. Aus dem Kontext heraus dürfte i. a. klar sein,
was gemeint ist.
Das Travelling-Salesman-Problem ist in diesem Sinne ein Problem. Seine offenen Parameter
sind die Anzahl der Städte und die Entfernungen zwischen diesen Städten. Eine
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