finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

3.3 Graphentheoretische Optimierungsprobleme: Beispiele
nicht berücksichtigt). Eine Partition von V in V1 und V2 entspricht einer Orientierungsfestlegung
der Variablen, z. B. V1 := {i ∈ V | i repräsentiert eine Verunreinigung mit
Nordpol oben}, V2 := {i ∈ V | der Nordpol von i ist unten}. Bei gegebenen Orientierungen
der Atome (Partition V1, V2 von V ) ist die Energie des Spinglaszustandes also wie
folgt definiert:
cij −
cij −
i∈V1,j∈V2
i,j∈V1
i,j∈V2
Der Zustand minimaler Energie kann also durch Maximierung des obigen Ausdrucks
bestimmt werden. Addieren wir zu diesem Ausdruck die Konstante C :=
i,j∈V cij, so
folgt daraus, dass der Grundzustand eines Spinglases durch die Lösung des Max-Cut
Problems
max{
cij | V1, V2 Partition von V }
i∈V1 j∈V2
bestimmt werden kann. Eine genauere Darstellung und die konkrete Berechnung von
Grundzuständen von Spingläsern (und weitere Literaturhinweise) kann man in Barahona
et al. (1988) finden. Dieses Paper beschreibt auch eine Anwendung des Max-Cut-
Problems im VLSI-Design und bei der Leiterplattenherstellung: Die Lagenzuweisung von
Leiterbahnen, so dass die Anzahl der Kontaktlöcher minimal ist.
(3.16) Standortprobleme. Probleme dieses Typs tauchen in der englischsprachigen
Literatur z. B. unter den Namen Location oder Allocation Problems, Layout Planning,
Facilities Allocation, Plant Layout Problems oder Facilities Design auf. Ihre Vielfalt
ist (ähnlich wie bei (3.12)) kaum in wenigen Zeilen darstellbar. Ein (relativ allgemeiner)
Standardtyp ist der folgende. Gegeben sei ein Graph (oder Digraph), dessen Knoten
Städte, Wohnbezirke, Bauplätze, mögliche Fabrikationsstätten etc. repräsentieren,
und dessen Kanten Verkehrsverbindungen, Straßen, Kommunikations- oder Transportmöglichkeiten
etc. darstellen. Die Kanten besitzen “Gewichte”, die z. B. Entfernungen
etc. ausdrücken. Wo sollen ein Krankenhaus, ein Flughafen, mehrere Polizei- oder Feuerwehrstationen,
Warenhäuser, Anlieferungslager, Fabrikationshallen . . . errichtet werden,
so dass ein “Optimalitätskriterium” erfüllt ist? Hierbei tauchen häufig Zielfunktionen auf,
die nicht linear sind. Z. B. soll ein Feuerwehrdepot so stationiert werden, dass die maximale
Entfernung vom Depot zu allen Wohnbezirken minimal ist; drei Auslieferungslager
sollen so errichtet werden, dass jedes Lager ein Drittel der Kunden bedienen kann und
die Summe der Entfernungen der Lager zu ihren Kunden minimal ist bzw. die maximale
Entfernung minimal ist. △
(3.17) Lineare Anordnungen und azyklische Subdigraphen. Gegeben sei ein
vollständiger Digraph Dn = (V, A) mit Bogengewichten c((i, j)) für alle (i, j) ∈ A. Das
Problem, eine lineare Reihenfolge der Knoten, sagen wir i1, . . . , in, zu bestimmen, so
dass die Summe der Gewichte der Bögen, die konsistent mit der linearen Ordnung sind
(also n−1 n p=1 q=p+1 c((ip, iq))), maximal ist, heißt Linear-Ordering-Problem. Das Azyk-
lische-Subdigraphen-Problem ist die Aufgabe, in einem Digraphen D = (V, A) mit Bogengewichten
eine Bogenmenge B ⊆ A zu finden, die keinen gerichteten Kreis enthält
cij .
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