finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

3 Diskrete Optimierungsprobleme
K) zu bestimmen, als Max-Cut-Problem formulieren. Ich will diese Anwendung kurz
skizzieren.
Ein Spinglas besteht aus nichtmagnetischem Material, das an einigen Stellen durch
magnetische Atome “verunreinigt” ist. Man interessiert sich für die Energie des Systems
und die Orientierung der magnetischen Atome (Verunreinigungen) bei 0 ◦ K, also für
den so genannten (gefrorenen) Grundzustand des Spinglases. Dieser Grundzustand ist
experimentell nicht herstellbar, und die Physiker haben unterschiedliche, sich z. T. widersprechende
Theorien über einige Eigenschaften dieses Grundzustandes.
Mathematisch wird dieses Problem wie folgt modelliert. Jeder Verunreinigung i wird
ein Vektor Si ∈ R 3 zugeordnet, der (bei einem gegebenen Bezugssytem) die Orientierung
des Atomes im Raum, d. h. den magnetischen Spin, beschreibt. Zwischen zwei Verunreinigungen
i, j besteht eine magnetische Interaktion, die durch
Hij = J(rij)Si · Sj
beschrieben wird, wobei J(rij) eine Funktion ist, die vom Abstand rij der Verunreinigungen
abhängt, und Si · Sj das innere Produkt der Vektoren Si, Sj ist. In der Praxis
wird J (bei gewissen physikalischen Modellen) wie folgt bestimmt:
J(rij) := cos(Krij)/r 3 ij ,
wobei K eine materialabhängige Konstante ist (z. B. K = 2.4×10 8 ). Die gesamte Energie
einer Spinkonfiguration ist gegeben durch
H = − J(rij)Si · Sj + F · Si ,
wobei F ein äußeres magnetisches Feld ist. (Der Einfachheit halber nehmen wir im folgenden
an F = 0.) Ein Zustand minimaler Energie ist also dadurch charakterisiert, dass
J(rij)Si · Sj maximal ist.
Das hierdurch gegebene Maximierungsproblem ist mathematisch kaum behandelbar.
Von Ising wurde folgende Vereinfachung vorgeschlagen. Statt jeder beliebigen räumlichen
Orientierung werden jeder Verunreinigung nur zwei Orientierungen erlaubt: “Nordpol
oben” oder “Nordpol unten”. Die dreidimensionalen Vektoren Si werden dann in diesem
Modell durch Variable si mit Werten in der zweielementigen Menge {1, −1} ersetzt.
Unter Physikern besteht Übereinstimmung darüber, dass dieses Ising-Modell das wahre
Verhalten gewisser Spingläsern gut widerspiegelt. Das obige Maximierungsproblem lautet
dann bezüglich des Ising Modells:
max{ J(rij)sisj | si ∈ {−1, 1}} .
Nach dieser durch die Fachwissenschaftler vorgenommenen Vereinfachung ist der Schritt
zum Max-Cut-Problem leicht. Wir definieren einen Graphen G = (V, E), wobei jeder
Knoten aus V eine Verunreinigung repräsentiert, je zwei Knoten i, j sind durch eine
Kante verbunden, die das Gewicht cij = −J(rij) trägt. (Ist rij groß, so ist nach Definition
cij sehr klein, und üblicherweise werden Kanten mit kleinen Gewichten cij gar
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