finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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3 Diskrete Optimierungsprobleme<br />
K) zu bestimmen, als Max-Cut-Problem formulieren. Ich will diese Anwendung kurz<br />
skizzieren.<br />
Ein Spinglas besteht aus nichtmagnetischem Material, das an einigen Stellen durch<br />
magnetische Atome “verunreinigt” ist. Man interessiert sich für die Energie <strong>des</strong> Systems<br />
und die Orientierung der magnetischen Atome (Verunreinigungen) bei 0 ◦ K, also für<br />
den so genannten (gefrorenen) Grundzustand <strong>des</strong> Spinglases. Dieser Grundzustand ist<br />
experimentell nicht herstellbar, und die Physiker haben unterschiedliche, sich z. T. widersprechende<br />
Theorien über einige Eigenschaften dieses Grundzustan<strong>des</strong>.<br />
Mathematisch wird dieses Problem wie folgt modelliert. Jeder Verunreinigung i wird<br />
ein Vektor Si ∈ R 3 zugeordnet, der (bei einem gegebenen Bezugssytem) die Orientierung<br />
<strong>des</strong> Atomes im Raum, d. h. den magnetischen Spin, beschreibt. Zwischen zwei Verunreinigungen<br />
i, j besteht eine magnetische Interaktion, die durch<br />
Hij = J(rij)Si · Sj<br />
beschrieben wird, wobei J(rij) eine Funktion ist, die vom Abstand rij der Verunreinigungen<br />
abhängt, und Si · Sj das innere Produkt der Vektoren Si, Sj ist. In der Praxis<br />
wird J (bei gewissen physikalischen Modellen) wie folgt bestimmt:<br />
J(rij) := cos(Krij)/r 3 ij ,<br />
wobei K eine materialabhängige Konstante ist (z. B. K = 2.4×10 8 ). Die gesamte Energie<br />
einer Spinkonfiguration ist gegeben durch<br />
H = − J(rij)Si · Sj + F · Si ,<br />
wobei F ein äußeres magnetisches Feld ist. (Der Einfachheit halber nehmen wir im folgenden<br />
an F = 0.) Ein Zustand minimaler Energie ist also dadurch charakterisiert, dass<br />
J(rij)Si · Sj maximal ist.<br />
Das hierdurch gegebene Maximierungsproblem ist mathematisch kaum behandelbar.<br />
Von Ising wurde folgende Vereinfachung vorgeschlagen. Statt jeder beliebigen räumlichen<br />
Orientierung werden jeder Verunreinigung nur zwei Orientierungen erlaubt: “Nordpol<br />
oben” oder “Nordpol unten”. Die dreidimensionalen Vektoren Si werden dann in diesem<br />
Modell durch Variable si mit Werten in der zweielementigen Menge {1, −1} ersetzt.<br />
Unter Physikern besteht Übereinstimmung darüber, dass dieses Ising-Modell das wahre<br />
Verhalten gewisser Spingläsern gut widerspiegelt. Das obige Maximierungsproblem lautet<br />
dann bezüglich <strong>des</strong> Ising Modells:<br />
max{ J(rij)sisj | si ∈ {−1, 1}} .<br />
Nach dieser durch die Fachwissenschaftler vorgenommenen Vereinfachung ist der Schritt<br />
zum Max-Cut-Problem leicht. Wir definieren einen Graphen G = (V, E), wobei jeder<br />
Knoten aus V eine Verunreinigung repräsentiert, je zwei Knoten i, j sind durch eine<br />
Kante verbunden, die das Gewicht cij = −J(rij) trägt. (Ist rij groß, so ist nach Definition<br />
cij sehr klein, und üblicherweise werden Kanten mit kleinen Gewichten cij gar<br />
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