finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

• Schaltkreisentwurf
• Standortplanung
3.3 Graphentheoretische Optimierungsprobleme: Beispiele
• Wiedergewinnung von Information aus Datenbanken
• Versuchsplanung
• Signalübertragung.
Aber auch das folgende Schachproblem kann als Stabile-Menge-Problem formuliert werden:
Bestimme die maximale Anzahl von Damen (oder Türmen, oder Pferden etc.), die
auf einem n × n Schachbrett so plaziert werden können, dass keine eine andere schlägt.
(3.14) Färbungsprobleme. Gegeben sei ein Graph G = (V, E). Zusätzlich seien Knotengewichte
bv für alle v ∈ V gegeben. Die Aufgabe, eine Folge von (nicht notwendigerweise
verschiedenen) stabilen Mengen S1, . . . , St von G zu suchen, so dass jeder Knoten
in mindestens bv dieser stabilen Mengen enthalten und t minimal ist, heißt (gewichtetes)
Knotenfärbungsproblem oder kurz Färbungsproblem. Beim (gewichteten) Kantenfärbungsproblem
sind statt Knotengewichten Kantengewichte ce, e ∈ E, gegeben und gesucht
ist eine Folge von (nicht notwendigerweise verschiedenen) Matchings M1, . . . , Ms, so dass
jede Kante in mindestens ce dieser Matchings enthalten und s so klein wie möglich ist.△
Das geographische Färbungsproblem ist uns schon in (3.6) begegnet. Hat man eine
Färbung der Länder, so dass je zwei benachbarte Länder verschieden gefärbt sind, so
entspricht jede Gruppe von Ländern gleicher Farbe einer stabilen Menge in G. Hat man
umgekehrt eine Zerlegung der Knotenmenge von G in stabile Mengen, so kann man jeweils
die Länder, die zu den Knoten einer stabilen Menge gehören mit derselben Farbe belegen
und erhält dadurch eine zulässige Landkartenfärbung. Das Landkartenfärbungsproblem
ist also das Knotenfärbungsproblem des zugehörigen Graphen mit bv = 1 für alle v ∈ V .
Die Aufgabe, in einer geographischen Region die Sendefrequenzen von Rundfunksendern
(oder Mobilfunkantennen) so zu verteilen, dass sich die Sender gegenseitig nicht
stören und alle Rundfunkteilnehmer, die für sie gedachten Programme auch empfangen
können, kann man als Färbungsproblem (mit weiteren Nebenbedingungen) formulieren.
(3.15) Schnittprobleme. Gegeben sei ein Graph G = (V, E) mit Kantengewichten
ce ∈ R für alle e ∈ E. Das Problem, einen Schnitt δ(W ) in G zu finden mit maximalem
Gewicht c(δ(W )), heißt Max-Cut-Problem. Sind alle Kantengewichte ce nicht-negativ, so
nennt man das Problem, einen Schnitt minimalen Gewichts in G zu finden, Min-Cut-
Problem. △
Das Min-Cut-Problem ist in der Theorie der Netzwerkflüsse sehr wichtig (siehe Kapitel
6).
Das Max-Cut-Problem hat z. B. eine interessante Anwendung in der Physik, und zwar
kann man beim Studium magnetischer Eigenschaften von Spingläsern im Rahmen des
Ising Modells die Aufgabe, einen Grundzustand (energieminimale Konfiguration bei 0 ◦
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