finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

3.3 Graphentheoretische Optimierungsprobleme: Beispiele
lösen kann. Gegeben sei also ein bipartiter Graph G = (V, E) mit Bipartition V1, V2 und
Kantengewichten ce. Es gelte V1 = {u1, u2, . . . , un}, V2 = {v1, v2, . . . , vn}. Wir definieren
einen Digraphen D = (W, A) mit W = {w1, . . . , wn}. Zwei Knoten wi, wj ∈ W sind genau
dann durch einen Bogen (wi, wj) verbunden, wenn uivj ∈ E gilt. Das Gewicht c ′ ((wi, wj))
des Bogens (wi, wj) sei das Gewicht c(uivj) der Kante uivj. Ist B eine minimale Lösung
des gerichteten Zuordnungsproblems bezüglich D und c ′ , so ist
M := {uivj ∈ E | (wi, wj) ∈ B}
offenbar ein minimales perfektes Matching in G bezüglich der Gewichtsfunktion c. Es ist
ebenfalls sofort klar, dass das gerichtete Zuordnungsproblem bezüglich D eine Lösung
genau dann hat, wenn G ein perfektes Matching enthält.
Gerichtetes Zuordnungsproblem −→ bipartites Matchingproblem. Schließlich wollen wir
noch vorführen, dass man das gerichtete Zuordnungsproblem auf das Matchingproblem
in bipartiten Graphen zurückführen kann. Gegeben sei also ein Digraph D = (W, A)
mit W = {w1, . . . , wn} und Bogengewichten c((wi, wj)) für alle (wi, wj) ∈ A. Wir
definieren einen bipartiten Graphen G = (V, E) mit Bipartition V1 = {u1, . . . , un},
V2 = {v1, . . . , vn} und Kantenmenge E := {uivj | (wi, wj) ∈ A}. Es seien
und
z := n(max{|c((wi, wj))| : (wi, wj) ∈ A}) + 1
c ′ (uivj) := −c((wi, wj)) + z.
Nach Konstruktion gilt, dass jedes Matching in G mit k Kanten ein geringeres Gewicht
hat als ein Matching mit k +1 Kanten, k = 0, . . . , n−1. Daraus folgt, dass es eine Lösung
des gerichteten Zuordnungproblems bezüglich D genau dann gibt, wenn jedes maximale
Matching M bezüglich G und c ′ perfekt ist. Ist dies so, dann ist
B := {(wi, wj) ∈ A | uivj ∈ M}
eine minimale Lösung des gerichteten Zuordnungsproblems mit Gewicht c(B) = −c ′ (M)+
nz.
(3.10) Das Matchingproblem. Die Grundversion dieses Problems ist die folgende. Gegeben
sei ein Graph G = (V, E) mit Kantengewichten ce für alle e ∈ E. Ist ein Matching
M von G maximalen Gewichts c(M) gesucht, so heißt dieses Problem Matchingproblem.
Sucht man ein perfektes Matching minimalen Gewichts, so wird es perfektes Matchingproblem
genannt.
Diese Probleme können wie folgt verallgemeinert werden. Gegeben seien zusätzlich
nichtnegative ganze Zahlen bv für alle v ∈ V (genannt Gradbeschränkungen) und ue für
alle e ∈ E (genannt Kantenkapazitäten). Ein (perfektes) b-Matchingist eine Zuordnung
xe von nichtnegativen ganzen Zahlen zu den Kanten e ∈ E, so dass für jeden Knoten
v ∈ V die Summe der Zahlen xe über die Kanten e ∈ E, die mit v inzidieren, höchstens
(exakt) bv ist. Das unkapazitierte (perfekte) b-Matchingproblem ist die Aufgabe ein
(perfektes) b-Matching (xe)e∈E zu finden, so dass
e∈E cexe maximal (minimal) ist.
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