finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

3 Diskrete Optimierungsprobleme
von Männern zu Frauen (Heirat), so dass die Summe der Antipathiekoeffizienten minimal
ist. Dieses Problem wird häufig Heiratsproblem genannt.
Das Matchingproblem in bipartiten Graphen kann man folgendermaßen interpretieren.
Ein Betrieb habe m offene Stellen und n Bewerber für diese Positionen. Durch Tests hat
man herausgefunden, welche Eignung Bewerber i für die Stelle j hat. Diese “Kompetenz”
sei mit cij bezeichnet. Gesucht wird eine Zuordnung von Bewerbern zu Positionen, so
dass die “Gesamtkompetenz” maximal wird.
Das Zuordnungsproblem und das Matchingproblem in bipartiten Graphen sind offenbar
sehr ähnlich, die Beziehungen zwischen dem Zuordnungsproblem und seiner gerichteten
Version sind dagegen nicht ganz so offensichtlich. Dennoch sind diese drei Probleme in
folgendem Sinne “äquivalent”: man kann sie auf sehr einfache Weise ineinander transformieren,
d. h. mit einem schnellen Algorithmus zur Lösung des einen Problems kann
man die beiden anderen Probleme lösen, ohne komplizierte Transformationsalgorithmen
einzuschalten.
Transformationstechniken, die einen Problemtyp in einen anderen überführen, sind
außerordentlich wichtig und zwar sowohl aus theoretischer als auch aus praktischer Sicht.
In der Theorie werden sie dazu benutzt, Probleme nach ihrem Schwierigkeitsgrad zu
klassifizieren (siehe Kapitel 4), in der Praxis ermöglichen sie die Benutzung eines einzigen
Algorithmus zur Lösung der verschiedensten Probleme und ersparen daher erhebliche
Codierungs- und Testkosten. Anhand der drei vorgenannten Probleme wollen wir nun
derartige Transformationstechniken demonstrieren.
Bipartites Matchingsproblem −→ Zuordnungsproblem. Angenommen wir haben ein
Matchingproblem in einem bipartiten Graphen und wollen es mit einem Algorithmus
für Zuordnungsprobleme lösen. Das Matchingproblem ist gegeben durch einen bipartiten
Graphen G = (V, E) mit Bipartition V1, V2 und Kantengewichten ce ∈ R für alle e ∈ E.
O. B. d. A. können wir annehmen, dass m = |V1| ≤ |V2| = n gilt. Zur Menge V1 fügen
wir n − m neue Knoten W (künstliche Knoten) hinzu. Wir setzen V ′
1 := V1 ∪ W . Für
je zwei Knoten i ∈ V ′
1 und j ∈ V2, die nicht in G benachbart sind, fügen wir eine neue
(künstliche) Kante ij hinzu. Die Menge der so hinzugefügten Kanten nennen wir E ′ , und
den Graphen (V ′
1 ∪ V2, E ∪ E ′ ) bezeichnen wir mit G ′ . G ′ ist der vollständige bipartite
Graph Kn,n. Wir definieren neue Kantengewichte c ′ e wie folgt:
c ′ e :=
⎧
⎪⎨ 0 falls e ∈ E
⎪⎩
′
0
−ce
falls e ∈ E und ce ≤ 0
falls e ∈ E und ce > 0
Lösen wir das Zuordnungsproblem bezüglich G ′ mit den Gewichten c ′ e, e ∈ E ∪ E ′ ,
so erhalten wir ein perfektes Matching M ′ minimalen Gewichts bezüglich c ′ . Es ist nun
einfach zu sehen, dass
M := {e ∈ M ′ | c ′ e < 0}
ein Matching in G ist, das maximal bezüglich der Gewichtsfunktion c ist.
Zuordnungsproblem −→ gerichtetes Zuordnungsproblem. Wir zeigen nun, dass man
das Zuordnungsproblem mit einem Algorithmus für das gerichtete Zuordnungsproblem
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