finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

3 Diskrete Optimierungsprobleme
Zur Notationsvereinfachung werden wir in Zukunft einfach kombinatorisches Optimierungsproblem
sagen, wenn wir ein Problem des Typs (3.2) meinen. Da ein derartiges
Problem durch die Grundmenge E, die zulässigen Lösungen I und die Zielfunktion c definiert
ist, werden wir kurz von einem kombinatorischen Optimierungsproblem (E, I, c)
sprechen.
Die Zielfunktion haben wir durch Formulierung (3.2) bereits sehr speziell strukturiert.
Aber Problem (3.2) ist algorithmisch immer noch irrelevant, falls wir eine explizite Angabe
von I unterstellen. Wir werden nachfolgend (und im Verlaufe der Vorlesung noch
sehr viel mehr) Beispiele des Typs (3.2) kennenlernen. Fast alle der dort auftretenden
zulässigen Mengen lassen sich auf folgende Weise charakterisieren:
I = {I ⊆ E | I hat Eigenschaft Π}.
Wir werden uns damit beschäftigen, welche Charakteristika die Eigenschaft Π haben
muss, damit die zugehörigen Probleme (E, I, c) auf einfache Weise gelöst werden können.
Nehmen wir an, dass E insgesamt n Elemente enthält, dann führt natürlich jede
Eigenschaft Π, die impliziert, dass I (relativ zu n) nur sehr wenige Elemente enthält, dazu,
dass (E, I, c) einfach lösbar ist, falls man die Elemente von I explizit angeben kann.
Typischerweise haben jedoch die interessanten kombinatorischen Optimierungsprobleme
eine Anzahl von Lösungen, die exponentiell in n ist, etwa n! oder 2 n . Eine vollständige
Enumeration der Elemente solcher Mengen ist offenbar auch auf den größten Rechnern
(für z. B. n ≥ 40) nicht in „vernünftiger Zeit“ durchführbar. Das Ziel der kombinatorischen
Optimierung besteht — kurz und vereinfachend gesagt — darin, Algorithmen zu
entwerfen, die (erheblich) schneller als die Enumeration aller Lösungen sind.
3.2 Klassische Fragestellungen der Graphentheorie
Nachfolgend werden eine Reihe von graphentheoretischen Problemen skizziert, die die
Entwicklung der Graphentheorie nachhaltig beeinflusst haben.
(3.3) Euler und das Königsberger Brückenproblem. Fast jedes Buch über Graphentheorie
(Geben Sie einfach einmal “Königsberg bridges” in Google ein.) enthält einen
Stadtplan von Königsberg und erläutert, wie Euler die Königsberger Karte zu dem Graphen
aus Abbildung 3.1 “abstrahiert” hat.
Euler hat die Frage untersucht, ob es in diesem “Königsberger Brückengraphen” einen
geschlossenen Pfad gibt, der alle Kanten genau einmal enthält. Heute nennen wir einen
solchen Pfad Eulertour. Er hat das Problem nicht nur für den Graphen aus Abbildung 3.1
gelöst, sondern für alle Graphen: Ein Graph enthält eine Eulertour genau dann, wenn er
zusammenhängend ist und jeder Knoten einen geraden Grad hat. Diesen Satz hat Euler
1736 bewiesen und damit die Graphentheorie begründet. Hinweise zur Geschichte des
Königsberger Brückenproblems und zu verwandten Optimierungsproblemen finden Sie
u. a. in Grötschel and Yuan (2012). △
(3.4) Das Haus vom Nikolaus. Jeder kennt die Aufgabe aus dem Kindergarten:
Zeichne das Haus des Nikolaus, siehe Abbildung 3.2, in einem Zug!
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