finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

2.3 Polyeder und lineare Programme
so addiert, das wir auf der linken Seite die Zielfunktion erhalten. (Da unsere Ungleichungen
alle in der Form “≥” geschrieben sind, dürfen wir nur positiv skalieren, denn zwei
Ungleichungen a1x1 + a2x2 ≤ α und b1x1 + b2x2 ≥ β kann man nicht addieren.) Natürlich
können wir dies mit allen Nebenbedingungsungleichungen machen, um so potenziell
bessere untere Schranken zu bekommen. Gibt jede beliebige Skalierung und Addition
eine untere Schranke? Machen wir noch einen Versuch. Addieren wir die Ungleichungen
(2.10b) und (2.10e), so erhalten wir −2s + t ≥ −4. Das hilft uns nicht weiter, denn
die linke Seite der Ungleichung kann nicht zum Abschätzen der Zielfunktion benutzt
werden: Damit die rechte Seite der neuen Ungleichung eine untere Schranke für die Zielfunktion
liefert, muss auf der linken Seite jeder Koeffizient höchstens so groß sein wie
der entsprechende Koeffizient der Zielfunktion.
Diese Erkenntnisse liefern uns ein neues mathematisches Problem. Wir suchen nichtnegative
Multiplikatoren (Skalierungsfaktoren) der Ungleichungen (2.10b)–(2.10g) mit
gewissen Eigenschaften. Multiplizieren wir die Ungleichungen mit y1, . . . , y6, so darf die
Summe −y1 + y2 + y3 − y4 nicht den Wert des ersten Koeffizienten der Zielfunktion (also
−6) überschreiten. Analog darf die Summe y1−y2+y5−y6 nicht den Wert 1 überschreiten.
Und die yi sollen nicht negativ sein. Ferner soll die rechte Seite der Summenungleichung,
also −y1 − y2 + 2y3 − 3y4 − 3y6 so groß wie möglich werden. Daraus folgt, dass wir die
folgende Aufgabe lösen müssen:
max −y1 − y2 + 2y3 − 3y4 − 3y6 (2.11a)
−y1 + y2 + y3 − y4 ≤ −6 (2.11b)
y1 − y2 + y5 − y6 ≤ 1 (2.11c)
y1, y2, y3, y4, y5, y6 ≥ 0. (2.11d)
Auch (2.11) ist ein lineares Programm. Aus unseren Überlegungen folgt, dass der Maximalwert
von (2.11) höchstens so groß ist wie der Minimalwert von (1.3), da jede Lösung
von (2.11) eine untere Schranke für (1.3) liefert. Betrachten wir z. B. den Punkt
y ∗ = (1, 0, 0, 5, 0, 0).
Durch Einsetzen in die Ungleichungen von (2.11) sieht man dass y ∗ alle Ungleichungen
erfüllt. Addieren wir also zu Ungleichung (2.10b) das 5-fache der Ungleichung (2.10f), so
erhalten wir
−6s + t ≥ −16.
Damit wissen wir, dass der Minimalwert von (1.3) mindestens −16 ist. Der Punkt
x ∗ = (3, 2) liefert gerade diesen Wert, er ist also optimal. Und außerdem ist y ∗ eine
Optimallösung von (2.11).
Die hier dargestellten Ideen bilden die Grundgedanken der Dualitätstheorie der linearen
Programmierung, und sie sind außerordentlich nützlich bei der Entwicklung von
Algorithmen und in Beweisen. In der Tat haben wir bereits ein kleines Resultat erzielt,
das wir wie folgt formal zusammenfassen wollen.
(2.12) Satz. Es seien c ∈ R n , b ∈ R m , und A sei eine reelle (m, n)-Matrix. Betrachten
wir die Aufgaben
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