finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
2.3 Polyeder und lineare Programme<br />
so addiert, das wir auf der linken Seite die Zielfunktion erhalten. (Da unsere Ungleichungen<br />
alle in der Form “≥” geschrieben sind, dürfen wir nur positiv skalieren, denn zwei<br />
Ungleichungen a1x1 + a2x2 ≤ α und b1x1 + b2x2 ≥ β kann man nicht addieren.) Natürlich<br />
können wir dies mit allen Nebenbedingungsungleichungen machen, um so potenziell<br />
bessere untere Schranken zu bekommen. Gibt jede beliebige Skalierung und Addition<br />
eine untere Schranke? Machen wir noch einen Versuch. Addieren wir die Ungleichungen<br />
(2.10b) und (2.10e), so erhalten wir −2s + t ≥ −4. Das hilft uns nicht weiter, denn<br />
die linke Seite der Ungleichung kann nicht zum Abschätzen der Zielfunktion benutzt<br />
werden: Damit die rechte Seite der neuen Ungleichung eine untere Schranke für die Zielfunktion<br />
liefert, muss auf der linken Seite jeder Koeffizient höchstens so groß sein wie<br />
der entsprechende Koeffizient der Zielfunktion.<br />
Diese Erkenntnisse liefern uns ein neues mathematisches Problem. Wir suchen nichtnegative<br />
Multiplikatoren (Skalierungsfaktoren) der Ungleichungen (2.10b)–(2.10g) mit<br />
gewissen Eigenschaften. Multiplizieren wir die Ungleichungen mit y1, . . . , y6, so darf die<br />
Summe −y1 + y2 + y3 − y4 nicht den Wert <strong>des</strong> ersten Koeffizienten der Zielfunktion (also<br />
−6) überschreiten. Analog darf die Summe y1−y2+y5−y6 nicht den Wert 1 überschreiten.<br />
Und die yi sollen nicht negativ sein. Ferner soll die rechte Seite der Summenungleichung,<br />
also −y1 − y2 + 2y3 − 3y4 − 3y6 so groß wie möglich werden. Daraus folgt, dass wir die<br />
folgende Aufgabe lösen müssen:<br />
max −y1 − y2 + 2y3 − 3y4 − 3y6 (2.11a)<br />
−y1 + y2 + y3 − y4 ≤ −6 (2.11b)<br />
y1 − y2 + y5 − y6 ≤ 1 (2.11c)<br />
y1, y2, y3, y4, y5, y6 ≥ 0. (2.11d)<br />
Auch (2.11) ist ein lineares Programm. Aus unseren Überlegungen folgt, dass der Maximalwert<br />
von (2.11) höchstens so groß ist wie der Minimalwert von (1.3), da jede Lösung<br />
von (2.11) eine untere Schranke für (1.3) liefert. Betrachten wir z. B. den Punkt<br />
y ∗ = (1, 0, 0, 5, 0, 0).<br />
Durch Einsetzen in die Ungleichungen von (2.11) sieht man dass y ∗ alle Ungleichungen<br />
erfüllt. Addieren wir also zu Ungleichung (2.10b) das 5-fache der Ungleichung (2.10f), so<br />
erhalten wir<br />
−6s + t ≥ −16.<br />
Damit wissen wir, dass der Minimalwert von (1.3) min<strong>des</strong>tens −16 ist. Der Punkt<br />
x ∗ = (3, 2) liefert gerade diesen Wert, er ist also optimal. Und außerdem ist y ∗ eine<br />
Optimallösung von (2.11).<br />
Die hier dargestellten Ideen bilden die Grundgedanken der Dualitätstheorie der linearen<br />
Programmierung, und sie sind außerordentlich nützlich bei der Entwicklung von<br />
Algorithmen und in Beweisen. In der Tat haben wir bereits ein kleines Resultat erzielt,<br />
das wir wie folgt formal zusammenfassen wollen.<br />
(2.12) Satz. Es seien c ∈ R n , b ∈ R m , und A sei eine reelle (m, n)-Matrix. Betrachten<br />
wir die Aufgaben<br />
33