finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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(2.4) Bemerkung. Die Lösungsmenge <strong>des</strong> Systems<br />
Bx + Cy = c<br />
Dx + Ey ≤ d<br />
x ≥ 0<br />
x ∈ K p , y ∈ K q<br />
2.3 Polyeder und lineare Programme<br />
ist ein Polyeder. △<br />
Beweis. Setze n := p + q und<br />
⎛<br />
B<br />
⎞<br />
C<br />
⎛ ⎞<br />
c<br />
⎜<br />
A := ⎜−B<br />
⎝ D<br />
−C ⎟<br />
E ⎠ ,<br />
⎜<br />
b := ⎜−c<br />
⎟<br />
⎝ d ⎠<br />
−I 0<br />
0<br />
.<br />
Dann ist P (A, b) die Lösungsmenge <strong>des</strong> vorgegebenen Gleichungs- und Ungleichungssystems.<br />
✷<br />
Ein spezieller Polyedertyp wird uns häufig begegnen, weswegen wir für ihn eine besondere<br />
Bezeichnung wählen wollen. Für A ∈ K (m,n) , b ∈ K m setzen wir<br />
P = (A, b) := {x ∈ K n | Ax = b, x ≥ 0}.<br />
Nicht alle Polyeder können in der Form P = (A, b) dargestellt werden, z. B. nicht P = {x ∈<br />
K | x ≤ 1}.<br />
Wir werden später viele Sätze über Polyeder P beweisen, deren Aussagen darstellungsabhängig<br />
sind, d. h. die Art und Weise, wie P gegeben ist, geht explizit in die<br />
Satzaussage ein. So werden sich z. B. die Charakterisierungen gewisser Polyedereigenschaften<br />
von P (A, b) (zumin<strong>des</strong>t formal) von den entsprechenden Charakterisierungen<br />
von P = (A, b) unterscheiden. Darstellungsabhängige Sätze wollen wir jedoch nur einmal<br />
beweisen (normalerweise für Darstellungen, bei denen die Resultate besonders einprägsam<br />
oder einfach sind), <strong>des</strong>halb werden wir uns nun Transformationsregeln überlegen,<br />
die angeben, wie man von einer Darstellungsweise zu einer anderen und wieder zurück<br />
kommt.<br />
(2.5) Transformationen.<br />
Regel I: Einführung von Schlupfvariablen<br />
Gegeben seien a ∈ K n , α ∈ K. Wir schreiben die Ungleichung<br />
a T x ≤ α (2.6)<br />
in der Form einer Gleichung und einer Vorzeichenbeschränkung<br />
a T x + y = α, y ≥ 0. (2.7)<br />
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