finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

(2.4) Bemerkung. Die Lösungsmenge des Systems
Bx + Cy = c
Dx + Ey ≤ d
x ≥ 0
x ∈ K p , y ∈ K q
2.3 Polyeder und lineare Programme
ist ein Polyeder. △
Beweis. Setze n := p + q und
⎛
B
⎞
C
⎛ ⎞
c
⎜
A := ⎜−B
⎝ D
−C ⎟
E ⎠ ,
⎜
b := ⎜−c
⎟
⎝ d ⎠
−I 0
0
.
Dann ist P (A, b) die Lösungsmenge des vorgegebenen Gleichungs- und Ungleichungssystems.
✷
Ein spezieller Polyedertyp wird uns häufig begegnen, weswegen wir für ihn eine besondere
Bezeichnung wählen wollen. Für A ∈ K (m,n) , b ∈ K m setzen wir
P = (A, b) := {x ∈ K n | Ax = b, x ≥ 0}.
Nicht alle Polyeder können in der Form P = (A, b) dargestellt werden, z. B. nicht P = {x ∈
K | x ≤ 1}.
Wir werden später viele Sätze über Polyeder P beweisen, deren Aussagen darstellungsabhängig
sind, d. h. die Art und Weise, wie P gegeben ist, geht explizit in die
Satzaussage ein. So werden sich z. B. die Charakterisierungen gewisser Polyedereigenschaften
von P (A, b) (zumindest formal) von den entsprechenden Charakterisierungen
von P = (A, b) unterscheiden. Darstellungsabhängige Sätze wollen wir jedoch nur einmal
beweisen (normalerweise für Darstellungen, bei denen die Resultate besonders einprägsam
oder einfach sind), deshalb werden wir uns nun Transformationsregeln überlegen,
die angeben, wie man von einer Darstellungsweise zu einer anderen und wieder zurück
kommt.
(2.5) Transformationen.
Regel I: Einführung von Schlupfvariablen
Gegeben seien a ∈ K n , α ∈ K. Wir schreiben die Ungleichung
a T x ≤ α (2.6)
in der Form einer Gleichung und einer Vorzeichenbeschränkung
a T x + y = α, y ≥ 0. (2.7)
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