finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

12 Ganzzahligkeit von Polyedern: Eine Einführung in Totale Unimodularität
Zielfunktionen erlaubt sind. Polynomiale Algorithmen existierern, wenn alle Bogenlängen
c(a) nicht-negativ sind, und statt der konvexen Hülle aller (s, t)-Schnitte P (s,t)−cut(D)
betrachtet man die Dominante
P ↑
(s,t)−cut (D) = conv{χC ∈ R A | C ⊆ A ist (s, t)-Schnitt} + R A +.
Analog kann man dann beweisen:
(12.20) Satz. Das System von Ungleichungen
x(a) ≥ 0 für alle a ∈ A (i)
x(P ) ≥ 1 für alle (s, t)-Wege P in D (ii)
ist eine vollständige Beschreibung des Polyeders P ↑
(s,t)−cut (D). △
Und genauso analog kann man dann bei nicht-negativer Zielfunktion einen (s, t)-Schnitt
minimaler Kapazität durch Lösung des linearen Programms
min c T x
x(a) ≥ 0 für alle a ∈ A
x(P ) ≥ 1 für alle (s, t)-Wege P in D
bestimmen. Und auch dieses LP ist in polynomialer Zeit (mit Techniken, die wir noch
nicht kennen) lösbar.
Eine alternative Möglichkeit, kürzeste Wege polyedrisch darzustellen, nutzt die Formulierung
als Minimalkosten-Flussproblem, wobei hier jedoch totale Unimodularität ins
Spiel kommt. Betrachten wir das System
x(δ + (i)) − x(δ − (i)) = 0 ∀i ∈ V \ {s, t}
x(δ + (s)) = 10 ≤ xa ≤ 1 ∀a ∈ A,
so ist die Matrix des Gleichungssystems total unimodular, also ist jede Ecke der Lösungsmenge
ganzzahlig. Man überlegt sich leicht, dass diese Ecken zwei Typen von Bogenmengen
induzieren:
1. (s, t)-Wege,
2. (s, t)-Wege vereinigt mit gerichteten Kreisen in D.
Daraus folgt, dass Minimierung einer nichtnegativen Zielfunktion über diesem System
(z. B. mit dem Simplex-Algorithmus oder einem Min-Cost-Flow-Algorithmus) zu einem
Inzidenzvektor einer optimalen Ecklösung führt, aus dem ein kürzester (s, t)-Weg abgelesen
werden kann. Das Polyeder
P = {x ∈ R A | x(δ + (i)) − x(δ − (i)) = 0, i ∈ V \ {s, t}; x(δ + (s)) = 1; 0 ≤ xa ≤ 1, a ∈ A}
ist daher ebenfalls als Baustein bei komplexen Anwendungsmodellen nützlich, die kürzeste
Wege als Teilmodelle enthalten.
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