finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

12.2 Ganzzahlige Polyeder: Zwei Beispiele
Minimiert man über P ↑
(s,t)−path (D) eine Zielfunktion mit negativer Komponente, so ist
der Optimalwert −∞. Die Dominante kann also nur bei nicht-negativen Zielfunktionen
(D) liefern dann aber offensichtlich kürzeste Wege.
eingesetzt werden. LPs über P ↑
(s,t)−path
(12.19) Satz. Das System von Ungleichungen
x(a) ≥ 0 für alle a ∈ A (i)
x(C) ≥ 1 für alle (s, t)-Schnitte C ⊆ A (ii)
ist eine vollständige Beschreibung des Polyeders P ↑
(s,t)−path (D). △
Beweis. Offensichtlich erfüllt jeder Inzidenzvektor χ P eines (s, t)-Weges P ⊆ A die
Ungleichungen (i) und (ii), und wenn man einen Vektor y ∈ R A + zu χ P addiert, so gilt
das natürlich auch für die Summe χP + y. Also ist P ↑
(s,t)−path (D) in der Lösungsmenge Q
von (i) und (ii) enthalten.
Angenommen, Q ist echt größer als P ↑
(s,t)−path (D). Dann existiert eine Zielfunktion
c: A → Z, so dass das Minimum über Q kleiner ist als über P ↑
(s,t)−path (D). Hat c eine
negative Komponente, dann ist das Minimum in beiden Fällen −∞. Daher können wir
annehmen: c ∈ ZA +. Das Minimum von cT x über P ↑
(s,t)−path (D) ist dann nach Konstruktion
die Länge d eines kürzesten (s, t)-Weges in D. Nach dem Min-Max-Satz (5.29) gibt es
dann d (s, t)-Schnitte C1, ..., Cd, so dass jeder Bogen a ∈ A in höchstens c(a) Schnitten Ci
liegt. Daraus folgt für jedes beliebige Element x ∈ Q:
c T x ≥
d
i=1
χ Ci
i
T
x =
d
x(Ci) ≥ d.
Folglich ist das Minimum über Q mindestens gleich d, was unserer Annahme widerspricht.
✷
Aus Satz (12.19) folgt nun, dass kürzeste (s, t)-Wege bei nicht-negativen Bogenlängen
c(a) durch Lösen des linearen Programms
min c T x
i=1
x(a) ≥ 0 für alle a ∈ A
x(C) ≥ 1 für alle (s, t)-Schnitte C ⊆ A
bestimmt werden können.
Sind solche LPs tatsächlich (praktisch irgendwie) lösbar? Auf den ersten Blick natürlich
nicht, denn die Anzahl der (s, t)-Schnitte in D ist 2 |V |−2 ; man kann die Ungleichungen
daher gar nicht explizit angeben. Wir werden später sehen, dass derartige LPs dennoch
(zumindest theoretisch) in polynomialer Zeit gelöst werden können. Dazu benötigen wir
aber erheblich mehr Theorie.
Den oben gemachten „Trick“ können wir übrigens auch auf (s, t)-Schnitte anwenden.
Einen minimalen (s, t)-Schnitt zu finden, ist gleichfalls N P-schwer, wenn beliebige
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