finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

12 Ganzzahligkeit von Polyedern: Eine Einführung in Totale Unimodularität
(12.18) Satz (Dekompositionssatz von Seymour für total unimodulare Matrizen).
Eine Matrix A ist total unimodular genau dann, wenn sie aus Netzwerkmatrizen
und den Matrizen in (12.14) durch die Operationen 1 bis 6 bzw. durch die Kombinationsoperationen
(12.15)–(12.17) erzeugt werden kann. Die Kombinationsoperationen (12.15)–
(12.17) werden dabei nur angewendet, wenn sowohl für A als auch für B die Summe aus
Spalten- und Zeilenanzahl mindestens 4 ist. △
Aufbauend auf Satz (12.18) kann ein Polynomialzeitalgorithmus für die Erkennung
total unimodularer Matrizen entwickelt werden.
12.2 Ganzzahlige Polyeder: Zwei Beispiele
Wir haben gesehen, dass ein Polyeder P (A, b) nur ganzzahlige Ecken hat, wenn die Matrix
A total unimodular und der Vektor b ganzzahlig sind. Total unimodulare Matrizen
sind natürlich sehr speziell, man bräuchte viel häufiger Ganzzahligkeitseigenschaften bei
praktischen Anwendungen.
Offensichtlich hat jedes Polyeder P , das man als konvexe Hülle ganzzahliger Punkte
definiert, nur ganzzahlige Ecken. Aber wie findet man für P eine Matrix A und einen
Vektor b, so dass P = P (A, b) gilt? Dies ist im Allgemeinen sehr schwierig. Gelegentlich
helfen bei der Suche Strukturresultate wie Min-Max-Sätze, siehe z. B. Abschnitt 5.3.4.
Wir erläutern dies an zwei Beispielen.
Gegeben seien ein Digraph D = (V, A) und zwei voneinander verschiedene Knoten
s, t ∈ V . Wir wissen, dass wir kürzeste (s, t)-Wege in polynomialer Zeit berechnen können.
Eine natürliche Frage ist daher, ob man ein System von Ungleichungen bestimmen
kann, welches das Polytop P (s,t)−path(D) = conv{χ P ∈ R A | P ist (s, t)-Weg in D} vollständig
beschreibt. Im Prinzip kann man dies natürlich, aber niemand kennt für beliebige
Digraphen D ein System Ax ≤ b mit P (s,t)−path(D) = P (A, b). Ein Grund (der hier noch
nicht detailliert ausgeführt werden kann) dafür ist, dass das Kürzeste-Wege-Problem
N P-schwerist. Alle polynomialen Kürzeste-Wege-Algorithmen verlangen zusätzliche Eigenschaften
(z. B. von der Zielfunktion), eine Tatsache, die häufig –auch ein paar Zeilen
weiter oben– „vergessen“ wird. Schnelle Algorithmen gibt es z. B., wenn alle Bogenlängen
nicht-negativ sind. In einem solchen Fall braucht man „nur“ nach einer kürzesten gerichteten
(s, t)-Kette oder einer kürzesten beliebigen Obermenge davon zu suchen. Eine
solche enthält dann automatisch einen kürzesten (s, t)-Weg.
Diese Überlegung führt dazu, dass man statt P (s,t)−path(D) ein größeres Polyeder betrachtet,
welches, wenn man lineare Programme mit positiver Zielfunktion über diesem
Polyeder löst, automatisch eine optimale Ecke liefert, die einem kürzesten Weg entspricht.
(Bei einer nicht-negativen Zielfunktion müssen unter Umständen einige Bögen entfernt
werden, um einen kürzesten Weg zu erhalten.)
Wir definieren
P ↑
(s,t)−path (D) := P (s,t)−path(D) + R A +
und nennen P ↑
(s,t)−path (D) die Dominante von P (s,t)−path(D). Durch die Addition des
nicht-negativen Orthanten R n + zu P (s,t)−path(D) erhält man ein unbeschränktes Polyeder.
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