finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

12 Ganzzahligkeit von Polyedern: Eine Einführung in Totale Unimodularität
Beweis. Wir haben bereits erwähnt, dass A genau dann total unimodular ist, wenn
die Matrix I A unimodular ist. Für jeden ganzzahligen Vektor b sind die Ecken des
Polyeders {x ∈ K n | x ≥ 0, Ax ≤ b} genau dann ganzzahlig, wenn die Ecken des Polyeders
{z ∈ K n | z ≥ 0, I A z ≤ b} ganzzahlig sind. Damit ergibt sich die Folgerung direkt
aus Satz (12.8). ✷
Da totale Unimodularität eine sehr nützliche Eigenschaft ist, ist sie sehr gut untersucht
und es gibt eine ganze Reihe weiterer Charakterisierungen von total unimodularen
Matrizen, die in verschiedenen Zusammenhängen nützlich sind.
(12.10) Satz (Charakterisierungen total unimodularer Matrizen). Sei A eine
Matrix mit Einträgen 0, 1 und −1. Dann sind äquivalent:
(a) A ist total unimodular.
(b) Für jeden ganzzahligen Vektor b hat das Polyeder {x ∈ K n | Ax ≤ b, x ≥ 0} nur
ganzzahlige Ecken.
(c) Für all ganzzahligen Vektoren a, b, c, d hat das Polyeder {x ∈ K n | a ≤ Ax ≤ b, c ≤
x ≤ d} nur ganzzahlige Ecken.
(d) Jede Teilmenge der Spalten von A kann in zwei Teilmengen M + und M − geteilt
werden, sodass die Summe der Spalte aus M + minus die Summe der Spalten aus M −
einen Vektor ergibt, dessen Komponenten 0, 1 oder −1 sind.
(e) Jede nichtsinguläre Teilmatrix von A hat eine Zeile mit einer ungeraden Anzahl von
Nichtnull-Komponenten.
(f) Diese Summe der Einträge jeder quadratischen Teilmatrix mit gerader Zeilen- und
Spaltensumme ist durch 4 teilbar.
(g) Keine quadratische Teilmatrix hat Determinante 2 oder −2. △
(12.11) Beispiel (Inzidenzmatrizen bipartiter Graphen). Sei G = (V, E) ein ungerichteter
bipartiter Graph und sei M die Knoten-Kanten-Inzidenzmatrix von G, also
1 v ∈ e,
Mv,e =
0 sonst.
Um zu zeigen, dass M total unimodular ist, wollen wir (12.10)(d) verwenden. Wir nutzen
aus, dass eine Matrix A genau dann total unimodular ist, wenn A T total unimodular ist,
d. h. es genügt zu zeigen, dass wir die Zeilen von M so in zwei Gruppen einteilen können,
dass die Komponenten des Differenzvektors der Gruppensummen nur die Werte 1, −1
oder 0 annehmen. Nach Voraussetzung ist G bipartit, d. h. es existiert eine Zerlegung
von V in Knotenmengen V1 und V2 sodass jede Kante einen Knoten in V1 und einen
Knoten in V2 enthält. Summieren wir alle Zeilen von M, die Knoten in V1 entsprechen, so
erhalten wir den Vektor 1 ∈ K E , da jede Kante mit genau einem Knoten aus V1 inzident
ist. Analoges gilt für die V2-Zeilensumme, sodass sich als Differenz der Nullvektor ergibt.
Damit ist die totale Unimodularität von M gezeigt. △
220