finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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12 Ganzzahligkeit von Polyedern: Eine Einführung in Totale Unimodularität<br />
Beweis. Wir haben bereits erwähnt, dass A genau dann total unimodular ist, wenn<br />
die Matrix I A unimodular ist. Für jeden ganzzahligen Vektor b sind die Ecken <strong>des</strong><br />
Polyeders {x ∈ K n | x ≥ 0, Ax ≤ b} genau dann ganzzahlig, wenn die Ecken <strong>des</strong> Polyeders<br />
{z ∈ K n | z ≥ 0, I A z ≤ b} ganzzahlig sind. Damit ergibt sich die Folgerung direkt<br />
aus Satz (12.8). ✷<br />
Da totale Unimodularität eine sehr nützliche Eigenschaft ist, ist sie sehr gut untersucht<br />
und es gibt eine ganze Reihe weiterer Charakterisierungen von total unimodularen<br />
Matrizen, die in verschiedenen Zusammenhängen nützlich sind.<br />
(12.10) Satz (Charakterisierungen total unimodularer Matrizen). Sei A eine<br />
Matrix mit Einträgen 0, 1 und −1. Dann sind äquivalent:<br />
(a) A ist total unimodular.<br />
(b) Für jeden ganzzahligen Vektor b hat das Polyeder {x ∈ K n | Ax ≤ b, x ≥ 0} nur<br />
ganzzahlige Ecken.<br />
(c) Für all ganzzahligen Vektoren a, b, c, d hat das Polyeder {x ∈ K n | a ≤ Ax ≤ b, c ≤<br />
x ≤ d} nur ganzzahlige Ecken.<br />
(d) Jede Teilmenge der Spalten von A kann in zwei Teilmengen M + und M − geteilt<br />
werden, sodass die Summe der Spalte aus M + minus die Summe der Spalten aus M −<br />
einen Vektor ergibt, <strong>des</strong>sen Komponenten 0, 1 oder −1 sind.<br />
(e) Jede nichtsinguläre Teilmatrix von A hat eine Zeile mit einer ungeraden Anzahl von<br />
Nichtnull-Komponenten.<br />
(f) Diese Summe der Einträge jeder quadratischen Teilmatrix mit gerader Zeilen- und<br />
Spaltensumme ist durch 4 teilbar.<br />
(g) Keine quadratische Teilmatrix hat Determinante 2 oder −2. △<br />
(12.11) Beispiel (Inzidenzmatrizen bipartiter Graphen). Sei G = (V, E) ein ungerichteter<br />
bipartiter Graph und sei M die Knoten-Kanten-Inzidenzmatrix von G, also<br />
<br />
1 v ∈ e,<br />
Mv,e =<br />
0 sonst.<br />
Um zu zeigen, dass M total unimodular ist, wollen wir (12.10)(d) verwenden. Wir nutzen<br />
aus, dass eine Matrix A genau dann total unimodular ist, wenn A T total unimodular ist,<br />
d. h. es genügt zu zeigen, dass wir die Zeilen von M so in zwei Gruppen einteilen können,<br />
dass die Komponenten <strong>des</strong> Differenzvektors der Gruppensummen nur die Werte 1, −1<br />
oder 0 annehmen. Nach Voraussetzung ist G bipartit, d. h. es existiert eine Zerlegung<br />
von V in Knotenmengen V1 und V2 sodass jede Kante einen Knoten in V1 und einen<br />
Knoten in V2 enthält. Summieren wir alle Zeilen von M, die Knoten in V1 entsprechen, so<br />
erhalten wir den Vektor 1 ∈ K E , da jede Kante mit genau einem Knoten aus V1 inzident<br />
ist. Analoges gilt für die V2-Zeilensumme, sodass sich als Differenz der Nullvektor ergibt.<br />
Damit ist die totale Unimodularität von M gezeigt. △<br />
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