finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

12 Ganzzahligkeit von Polyedern: Eine Einführung in Totale Unimodularität
5. Hinzufügen einer Nullspalte oder Nullzeile sowie Hinzufügen einer Zeile oder Spalte
mit genau einem Nichtnullelement mit Wert ±1
6. Wiederholen einer Zeile oder einer Spalte △
(12.4) Bemerkung. Insbesondere folgt aus (12.3), dass, wenn A total unimodular ist,
auch die folgenden Matrizen total unimodular sind:
−A, A T
A I
, , , I A .
−A A
△
Bekannte Resultate aus der linearen Algebra spielen bei den nachfolgenden Argumentationen
eine wichtige Rolle. Ist A eine nichtnegative (n, n)-Matrix, dann kann man ihre
inverse Matrix wie folgt darstellen:
A −1 = 1
det A adj(A),
wobei adj(A) die transponierte Matrix der Matrix M mit den Elementen
mij = (−1) i+j det Aij
ist. Hierbei ist Aij die Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte
entsteht. Aus dieser Formel können wir schließen, dass, wenn A eine ganzzahlige Matrix
ist, adj(A) ebenfalls eine ganzzahlige Matrix ist. Darüber hinaus folgt damit aus det A =
±1 die Ganzzahligkeit von A−1 . Folglich ist die inverse Matrix einer total unimodularen
Matrix ganzzahlig.
Wir erinnern hier ferner an die Cramersche Regel, die besagt, dass für eine nichtsinguläre
Matrix A und einen Vektor b die eindeutig bestimmte Lösung des Gleichungssystems
Ax = b durch die Formel
xi = 1
det A
det Ai
gegeben ist, wobei Ai die Matrix ist, die aus A durch Ersetzen von Spalte i durch den
Vektor b entsteht. Ist b ein ganzzahliger Vektor und A total unimodular, so ist der
Lösungsvektor x offenbar ganzzahlig.
(12.5) Satz. Seien A eine total unimodulare Matrix und b ein ganzzahliger Vektor.
Dann ist das Polyeder P (A, b) ganzzahlig. △
Beweis. Sei F = {x ∈ P | A ′ x = b ′ } eine minimale Seitenfläche von P , wobei A ′ x = b ′
als Teilsystem von Aeq(F )·x = beq(F ) so gewählt sei, dass A ′ vollen Zeilenrang besitzt.
Dann können wir (nach Zeilen- und Spaltentausch) A ′ schreiben als A ′ = U V für
eine Teilmatrix U mit det U = ±1. Nach den obigen Überlegungen ist U −1 ganzzahlig.
Damit ist
U −1b ′
x =
ein ganzzahliger Punkt, der das System A ′ x = b ′ löst. Wegen Satz (8.18) ist F = {x ∈
K n | A ′ x = b ′ } und x daher in F . ✷
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