finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

12 Ganzzahligkeit von Polyedern: Eine
Einführung in Totale Unimodularität
In der Vorlesung haben wir viele Beispiele von Optimierungsproblemen gesehen, die sich
als ganzzahliges lineares Programm formulieren lassen. Mit dem Simplex-Algorithmus haben
wir eine in der Praxis sehr effektive Methode zur Lösung linearer Programme. Wenn
wir also wissen, dass die gesuchte Optimallösung einem ganzzahligen Punkt entspricht,
können wir den Simplex-Algorithmus zur Lösung des Problems nutzen. Es ist daher interessant
zu untersuchen, welche Polyeder die Eigenschaft haben, (nur) ganzzahlige Ecken
bzw. Seitenflächen mit ganzzahligen Punkten zu besitzen.
(12.1) Definition. Ein Polyeder P heißt ganzzahlig, wenn jede nichtleere Seitenfläche
einen ganzzahligen Punkt enthält. △
Da jede nichtleere Seitenfläche eine minimale nichtleere Seitenfläche enthält, ist ein
Polyeder ganzzahlig genau dann, wenn jede minimale nichtleere Seitenfläche einen ganzzahligen
Punkt enthält.
12.1 Total unimodulare Matrizen
Die folgende Klasse von Matrizen spielt eine wichtige Rolle bei Ganzzahligkeitsüberlegungen.
(12.2) Definition. Eine Matrix A heißt total unimodular, wenn jede Subdeterminante
von A entweder 0, 1 oder −1 ist. △
(12.3) Bemerkung. Die folgenden Operationen erhalten totale Unimodularität:
1. Vertauschen von Zeilen oder Spalten
2. Transponieren
3. Multiplikation einer Zeile oder Spalte mit −1
4. Pivotisieren, d. h. Ersetzen der Matrix
a
b
c
D
durch
−a ac
ab D − abc
für a ∈ {−1, 1}, Zeilenvektor c, Spaltenvektor b und Matrix D
217