finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

11 Das Farkas-Lemma und Dualitätstheorie
Daraus folgt
0 ≥ λ((p1 + q) T b + (p2 − p3) T c) = (p1 + q) T λb + (p2 − p3) T λc
= (p1 + q) T A(p3 − p2) + (p1 + q) T (p4 + q) + (p2 − p3) T A T (p1 + q)
= p T 1 p4 + p T 1 q + q T p4 + q T q
≥ q T q
> 0.
Daraus folgt (p1 + q) T b + (p2 − p3) T c > 0, ein Widerspruch. ✷
Es gibt eine natürliche Merkregel für die verschiedenen Sätze vom komplementären
Schlupf. Wir wissen bereits, dass zu jeder primalen Variablen eine duale Restriktion (auch
komplementäre Restriktion genannt) und zu jeder primalen Restriktion eine duale (komplementäre)
Variable gehören. Die Sätze (11.25) und (11.26) zeigen nun, dass zur Charakterisierung
von Optimallösungen vorzeichenbeschränkte Variable und Ungleichungen
besonders wichtig sind. Zu jeder vorzeichenbeschränkten primalen (dualen) Variablen gehört
eine duale (primale) Ungleichung und umgekehrt. Ist a T x ≤ α eine Ungleichung und
x ein Vektor, so nennen wir die Ungleichung straff (bezüglich x), falls a T x = α gilt, andernfalls
nennen wir sie locker. Der Satz vom schwachen komplementären Schlupf (11.25)
sagt dann aus: Gewisse Vektoren sind optimal für (11.22) bzw. (11.23) genau dann, wenn
für jede lockere Nichtnegativitätsbedingung die komplementäre Ungleichung straff ist,
d. h. wenn in der komplementären Ungleichung kein Schlupf auftritt. Satz (11.26) kann
wie folgt formuliert werden. Es gibt Optimallösungen, bei denen Schlüpfe komplementär
auftreten, bzw. bei denen die duale Nichtnegativitätsbedingung genau dann locker ist,
wenn die komplementäre primale Ungleichung straff ist.
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