finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

11 Das Farkas-Lemma und Dualitätstheorie
Wir wollen nun zwei weitere wichtige Sätze zur Charakterisierung von Optimallösungen
linearer Programme formulieren und beweisen.
(11.25) Satz (Satz vom schwachen komplementären Schlupf). Es seien A, B, C,
D und a, b, c, d dimensionsverträglich und (11.22), (11.23) das zugehörige Paar dualer
linearer Programme. Die Vektoren x u
y bzw. v seien zulässig für (11.22) bzw. (11.23),
dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) x
u
y ist optimal für (11.22) und v ist optimal für (11.23).
(b) (c T − (u T A + v T C))x − u T (a − (Ax + By)) = 0.
(c) Für alle Komponenten ui der Duallösung gilt: ui > 0 ⇒ Ai·x + Bi·y = ai.
Für alle Komponenten xj der Primallösung gilt: xj > 0 ⇒ u T A·j + v T C·j = cj.
(d) Für alle Zeilenindizes i von A und B gilt: Ai·x + Bi·y < ai ⇒ ui = 0.
Für alle Spaltenindizes j von A und C gilt: u T A·j + v T C·j > cj ⇒ xj = 0. △
Beweis. (a) ⇐⇒ (b):
(a) ⇐⇒ c T x + d T y = u T a + v T b (nach (11.24))
⇐⇒ c T x + (u T B + v T D)y − u T a − v T (Cx + Dy) = 0
⇐⇒ c T x + u T By + v T Dy − u T a − v T Cx − v T Dy − u T Ax + u T Ax = 0
⇐⇒ c T x − (u T A + v T C)x − u T a + u T (Ax + By) = 0
⇐⇒ (b).
(b) =⇒ (c): Es seien t T := c T −(u T A+v T C) und s := a−(Ax+By). Nach Voraussetzung
gilt also t ≤ 0 und s ≥ 0. Aus x ≥ 0 und u ≥ 0 folgt daher t T x ≤ 0 und u T s ≥ 0,
mithin t T x − u T s ≤ 0. Es kann also t T x − u T s = 0 nur dann gelten, wenn t T x = 0
und u T s = 0. Daraus ergibt sich (c).
(c) =⇒ (b): Trivial.
(c) ⇐⇒ (d): Durch Negation. ✷
Aus (11.25) folgt für jedes Paar dualer linearer Programme durch Spezialisierung die
Gültigkeit eines Satzes vom schwachen komplementären Schlupf.
(11.26) Satz (Satz vom starken komplementären Schlupf). Besitzen beide dualen
linearen Programme
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(P)
max cT x
Ax ≤ b
und (D)
min y T b
y T A = c T
y ≥ 0