finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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11.4 Der Dualitätssatz der linearen Programmierung primales LP duales LP (P1) max c T x, Ax ≤ b, x ≥ 0 (D1) min y T b, y T A ≥ c T , y ≥ 0 (P2) min c T x, Ax ≥ b, x ≥ 0 (D1) max y T b, y T A ≤ c T , y ≥ 0 (P3) max c T x, Ax = b, x ≥ 0 (D3) min y T b, y T A ≥ c T (P4) min c T x, Ax = b, x ≥ 0 (D4) max y T b, y T A ≤ c T (P5) max c T x, Ax ≤ b (D5) min y T b, y T A = c T , y ≥ 0 (P6) min c T x, Ax ≥ b (D6) max y T b, y T A = c T , y ≥ 0 Tabelle 11.1: Beziehung zwischen primalem und dualen LP für verschiedene Typen von LPs. primal dual Gleichung oder Ungleichung Variable Ungleichung nichtnegative Variable Gleichung nicht vorzeichenbeschränkte Variable nichtnegative Variable Ungleichung nicht vorzeichenbeschränkte Variable Gleichung Tabelle 11.2: Transformationsregeln für primal-duale LP-Paare. • Jeder primalen nichtnegativen Variablen xj ist die duale Ungleichung y T A·j ≥ cj zugeordnet. Aus dem Vorhergehenden dürfte klar sein, dass der Dualitätssatz nicht nur für das spezielle Paar linearer Programme (P), (D) aus Satz (11.18) gilt, sondern für alle Paare dualer linearer Programme. Um später darauf Bezug nehmen zu können, wollen wir den Dualitätssatz in voller Allgemeinheit formulieren. (11.24) Satz (Allgemeiner Dualitätssatz). Es seien (P) ein lineares Programm und (D) das zu (P) duale Programm. (a) Haben (P) und (D) zulässige Lösungen, so haben (P) und (D) Optimallösungen, und die Zielfunktionswerte aller Optimallösungen stimmen überein. (b) Hat eines der beiden Programme (P) oder (D) eine Optimallösung, so auch das andere. (c) Hat eines der Programme (P) oder (D) keine zulässige Lösung, so ist das andere unbeschränkt oder hat keine zulässige Lösung. (d) Ist eines der Programme (P) oder (D) unbeschränkt, so hat das andere keine zulässige Lösung. △ 213
11 Das Farkas-Lemma und Dualitätstheorie Wir wollen nun zwei weitere wichtige Sätze zur Charakterisierung von Optimallösungen linearer Programme formulieren und beweisen. (11.25) Satz (Satz vom schwachen komplementären Schlupf). Es seien A, B, C, D und a, b, c, d dimensionsverträglich und (11.22), (11.23) das zugehörige Paar dualer linearer Programme. Die Vektoren x u y bzw. v seien zulässig für (11.22) bzw. (11.23), dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) x u y ist optimal für (11.22) und v ist optimal für (11.23). (b) (c T − (u T A + v T C))x − u T (a − (Ax + By)) = 0. (c) Für alle Komponenten ui der Duallösung gilt: ui > 0 ⇒ Ai·x + Bi·y = ai. Für alle Komponenten xj der Primallösung gilt: xj > 0 ⇒ u T A·j + v T C·j = cj. (d) Für alle Zeilenindizes i von A und B gilt: Ai·x + Bi·y < ai ⇒ ui = 0. Für alle Spaltenindizes j von A und C gilt: u T A·j + v T C·j > cj ⇒ xj = 0. △ Beweis. (a) ⇐⇒ (b): (a) ⇐⇒ c T x + d T y = u T a + v T b (nach (11.24)) ⇐⇒ c T x + (u T B + v T D)y − u T a − v T (Cx + Dy) = 0 ⇐⇒ c T x + u T By + v T Dy − u T a − v T Cx − v T Dy − u T Ax + u T Ax = 0 ⇐⇒ c T x − (u T A + v T C)x − u T a + u T (Ax + By) = 0 ⇐⇒ (b). (b) =⇒ (c): Es seien t T := c T −(u T A+v T C) und s := a−(Ax+By). Nach Voraussetzung gilt also t ≤ 0 und s ≥ 0. Aus x ≥ 0 und u ≥ 0 folgt daher t T x ≤ 0 und u T s ≥ 0, mithin t T x − u T s ≤ 0. Es kann also t T x − u T s = 0 nur dann gelten, wenn t T x = 0 und u T s = 0. Daraus ergibt sich (c). (c) =⇒ (b): Trivial. (c) ⇐⇒ (d): Durch Negation. ✷ Aus (11.25) folgt für jedes Paar dualer linearer Programme durch Spezialisierung die Gültigkeit eines Satzes vom schwachen komplementären Schlupf. (11.26) Satz (Satz vom starken komplementären Schlupf). Besitzen beide dualen linearen Programme 214 (P) max cT x Ax ≤ b und (D) min y T b y T A = c T y ≥ 0
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11.4 Der Dualitätssatz der linearen Programmierung<br />
primales LP duales LP<br />
(P1) max c T x, Ax ≤ b, x ≥ 0 (D1) min y T b, y T A ≥ c T , y ≥ 0<br />
(P2) min c T x, Ax ≥ b, x ≥ 0 (D1) max y T b, y T A ≤ c T , y ≥ 0<br />
(P3) max c T x, Ax = b, x ≥ 0 (D3) min y T b, y T A ≥ c T<br />
(P4) min c T x, Ax = b, x ≥ 0 (D4) max y T b, y T A ≤ c T<br />
(P5) max c T x, Ax ≤ b (D5) min y T b, y T A = c T , y ≥ 0<br />
(P6) min c T x, Ax ≥ b (D6) max y T b, y T A = c T , y ≥ 0<br />
Tabelle 11.1: Beziehung zwischen primalem und dualen LP für verschiedene Typen von<br />
LPs.<br />
primal dual<br />
Gleichung oder Ungleichung Variable<br />
Ungleichung nichtnegative Variable<br />
Gleichung nicht vorzeichenbeschränkte Variable<br />
nichtnegative Variable Ungleichung<br />
nicht vorzeichenbeschränkte Variable Gleichung<br />
Tabelle 11.2: Transformationsregeln für primal-duale LP-Paare.<br />
• Jeder primalen nichtnegativen Variablen xj ist die duale Ungleichung y T A·j ≥ cj<br />
zugeordnet.<br />
Aus dem Vorhergehenden dürfte klar sein, dass der Dualitätssatz nicht nur für das<br />
spezielle Paar linearer Programme (P), (D) aus Satz (11.18) gilt, sondern für alle Paare<br />
dualer linearer Programme. Um später darauf Bezug nehmen zu können, wollen wir den<br />
Dualitätssatz in voller Allgemeinheit formulieren.<br />
(11.24) Satz (Allgemeiner Dualitätssatz). Es seien (P) ein lineares Programm und<br />
(D) das zu (P) duale Programm.<br />
(a) Haben (P) und (D) zulässige Lösungen, so haben (P) und (D) Optimallösungen, und<br />
die Zielfunktionswerte aller Optimallösungen stimmen überein.<br />
(b) Hat eines der beiden Programme (P) oder (D) eine Optimallösung, so auch das andere.<br />
(c) Hat eines der Programme (P) oder (D) keine zulässige Lösung, so ist das andere<br />
unbeschränkt oder hat keine zulässige Lösung.<br />
(d) Ist eines der Programme (P) oder (D) unbeschränkt, so hat das andere keine zulässige<br />
Lösung. △<br />
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