finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

11.4 Der Dualitätssatz der linearen Programmierung
(b) Ist D = ∅, so impliziert der schwache Dualitätssatz (2.12) z ∗ ≤ min{y T b | y ∈ D} =
u ∗ < +∞.
(c) Analog zu (b).
(d) Angenommen P = ∅ und u ∗ > −∞. Dann gilt entweder u ∗ = +∞ und somit D = ∅
oder nach (a) folgt z ∗ = u ∗ endlich, also P = ∅. Widerspruch!
(e) Analog zu (d). ✷
Man könnte vermuten, dass in (11.19)(b) und (c) auch die umgekehrte Richtung gilt.
Die Aussagen (d) und (e) zeigen aber, dass beim Versuch eines Beweises der Rückrichtung
Komplikationen auftreten können. Das nachfolgende Beispiel zeigt, dass es in der Tat
zueinander duale lineare Programme gibt, die beide leere Lösungsmengen haben.
(11.20) Beispiel. Es seien
P = x ∈ K 2
1 −1 0
|
x ≤ ,
−1 1 −1
D = y ∈ K 2
1 −1 1
|
y = , y ≥ 0 .
−1 1 1
Dann sind die linearen Programme
zueinander dual, und es gilt:
max x1 + x2und min −y2
x ∈ P y ∈ D
(a) P = ∅, da nach (11.2)(a) das System
1 −1
(u1, u2)
= (0, 0),
−1 1
eine Lösung hat (z. B. u1 = u2 = 1).
u1, u2 ≥ 0,
−u2 < 0
(b) D = ∅, da nach (11.2)(c) das System
1 −1
(v1, v2)
≥ (0, 0),
−1 1
v1 + v2 < 0,
eine Lösung hat (z. B. v1 = v2 = −1). △
Wir haben bereits die Sprechweise „zueinander duale lineare Programme“ benutzt,
ohne dafür eine Begründung zu geben. Sie erfolgt hiermit:
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