finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

11 Das Farkas-Lemma und Dualitätstheorie
Für festes z ∈ K ist die Lösungsmenge von (11.13) ein Polyeder im Kn . Wir setzen für
alle z ∈ K
Pz := x ∈ K n
−cT −z
| x ≤ .
A b
(11.14)
Nunmehr können wir (11.13) wie folgt darstellen:
max{z | Pz = ∅}. (11.15)
Wir suchen also ein z ∈ K, das so groß wie möglich ist unter der Nebenbedingung, dass
das Polyeder Pz = ∅ ist.
Üblicherweise nennt man die Aufgabe zu zeigen, dass eine Menge nicht leer ist, ein
primales Problem. Zu zeigen, dass eine Menge leer ist, ist ein duales Problem. Diese
beiden Aufgaben sind i. A. nicht von gleicher Schwierigkeit. Betrachten wir z. B. ein
Polyeder P ⊆ Q n . Legen wir einfach eine Abzählung x1, x2, x3, . . . der Elemente von Q n
fest und überprüfen wir, ob xi ∈ P ist für i = 1, 2, . . ., so sind wir sicher, dass dieses
Verfahren nach endlich vielen Schritten abbricht, falls P = ∅ ist. Jedoch kann dieses
Verfahren niemals nach endlich vielen Schritten folgern, dass P leer ist. Ein Ziel von
Dualitätstheorien ist es, „gute Kriterien“ für die Lösung der dualen Probleme zu finden.
Das Farkas-Lemma liefert ein solches. Gilt P = {x | Ax ≤ b}, so ist nach (11.3)(a) P
genau dann leer, wenn Q = P = ( AT bT 0
, −1 ) nicht leer ist. Durch Anwendung des obigen
Abzählverfahrens auf P und Q gleichzeitig können wir also nach endlich vielen Schritten
entscheiden, ob P leer ist oder nicht.
Das angegebene Abzählverfahren sollte nicht als ein ernsthafter Vorschlag zur algorithmischen
Lösung des primalen und dualen Problems angesehen werden. Diese Bemerkungen
sollen lediglich das Problembewusstsein des Lesers schärfen!
Zurück zu (11.15). Es kann sein, dass Pz = ∅ gilt für alle z ∈ K. Dann ist (11.11)
unbeschränkt und hat keine Optimallösung. Andernfalls können wir versuchen den Maximalwert
in (11.15) nach oben zu beschränken. Die bestmögliche Schranke ist natürlich
gegeben durch
inf{z | Pz = ∅}. (11.16)
Nach (11.2)(a) ist Pz = ∅ äquivalent dazu, dass das System y T A = λc T , y T b < λz, y ≥ 0,
λ ≥ 0 eine Lösung hat. Man überlegt sich leicht, dass dieses System — im Falle der
Lösbarkeit von (11.11) — genau dann lösbar ist, wenn y T A = c T , y T b < z, y ≥ 0 lösbar
ist. Wenn wir das kleinste z in (11.16) finden wollen, müssen wir also einen möglichst
kleinen Wert y T b bestimmen. (11.16) ist somit äquivalent zu
min y T b
y T A = c T
y ≥ 0
(11.17)
Problem (11.17) ist offenbar wiederum ein lineares Programm. Wir nennen es das zum
primalen Problem (11.11) duale lineare Programm. Wir wollen nun zeigen, dass (11.11)
und (11.17) den gleichen Optimalwert haben.
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