finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

11.4 Der Dualitätssatz der linearen Programmierung
Satz (11.10) folgt aus (11.9), wenn man sich überlegt, dass für ein Polytop P = {x |
Ax = a, Bx ≤ b} mit der Eigenschaft, dass keine der Ungleichungen in Bx ≤ b durch
alle Punkte aus P mit Gleichheit erfüllt ist, das relativ Innere von P genau die Menge
{x | Ax = a, Bx < b} ist.
11.4 Der Dualitätssatz der linearen Programmierung
In Satz (2.12) haben wir bereits den sogenannten schwachen Dualitätssatz angegeben und
bewiesen. Die Gleichheit der optimalen Zielfunktionswerte kann man (unter anderem) mit
Hilfe des Farkas-Lemmas beweisen. Man kann den (nachfolgend formulierten) Dualitätssatz
als eine Optimierungsversion des Farkas-Lemmas ansehen. Beide Sätze sind in dem
Sinne äquivalent, dass der eine ohne Mühe aus dem anderen gefolgert werden kann und
umgekehrt. So wie das Farkas Lemma für die Polyedertheorie von zentraler Bedeutung
ist, ist der Dualitätssatz von außerordentlicher Tragweite in der linearen Optimierung
und zwar sowohl in algorithmisch-praktischer als auch in theoretischer Hinsicht. Wenn
man heutzutage in mathematischen (Forschungs-)Aufsätzen einen Satz wie „. . . it follows
by an LP-argument . . . “ liest, dann heißt das so gut wie immer, dass der Dualitätssatz
in einer seiner Versionen geschickt anzuwenden ist.
Wir wollen zunächst das folgende lineare Programm
max c T x
Ax ≤ b
(11.11)
wobei A ∈ K (m,n) , b ∈ K m und c ∈ K n gegeben sind, untersuchen. Unsere Aufgabe
besteht darin, unter den Vektoren x ∈ K n , die zulässig für (11.11) sind, d. h. die Ax ≤ b
erfüllen, einen Vektor x ∗ ∈ K n zu finden, der optimal ist, d. h. c T x ∗ ≥ c T x für alle zulässigen
x. In Kapitel 2 haben wir bereits eine Motivation für die Dualitätstheorie gegeben,
hier wollen wir noch einen weiteren Zugang beschreiben. Zunächst wollen wir (11.11)
polyedrisch darstellen. Wir führen dazu eine neue Variable z ein und schreiben (11.11)
in der Form
max z
1 −cT z
≤
0 A x
0
b
(11.12)
Daraus folgt, dass jedes lineare Programm in ein LP umgeformt werden kann, bei dem
lediglich Lösungsvektoren gesucht werden, deren erste Komponente so groß wie möglich
ist. Schreiben wir (11.12) noch einmal um und bringen wir z auf die rechte Seite, so
kann (11.12) folgendermaßen geschrieben werden.
max z
−cT −z
x ≤
A b
(11.13)
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