finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

11.3 Trennsätze
Beweis. Gibt es eine P und Q strikt trennende Hyperebene, dann ist P ∩Q offensichtlich
leer.
Sei P ∩ Q = ∅. Zu zeigen ist die Existenz eines Vektors c ∈ K n , c = 0, und einer Zahl
γ ∈ K, so dass P ⊆ {x | c T x < γ} und Q ⊆ {x | c T x > γ} gilt. Sind P und Q leer, so
leistet jede beliebige Hyperebene das Gewünschte. Ist eines der Polyeder leer, sagen wir
Q = ∅, P = ∅, dann ist wegen P = K n eine der Zeilen von A von Null verschieden, sagen
wir Ai· = 0. Dann haben c T := Ai·, γ := ai + 1 die geforderten Eigenschaften. Sind P
und Q nicht leer, dann gilt nach Voraussetzung
A a
P , = ∅.
B b
Folglich existiert nach (11.2)(a) ein Vektor u
v ≥ 0 mit uT A+vT B = 0T und uT a+v T b <
0. Wir setzen
Daraus folgt:
c T := u T A(= −v T B) und γ := 1
2 (uT a − v T b).
x ∈ P ⇒ c T x = u T Ax ≤ u T a < u T a − 1
2 (uT a + v T b) = 1
2 (uT a − v T b) = γ.
x ∈ Q ⇒ c T x = −v T Bx ≥ −v T b > −v T b + 1
2 (uT a + v T b) = 1
2 (uT a − v T b) = γ.
Der Vektor c ist offenbar von Null verschieden. ✷
Der folgende Satz, den wir nicht mit den bisher entwickelten Methoden beweisen können,
soll als Beispiel für die oben angesprochene allgemeine Art von Trennsätzen dienen.
(11.9) Satz (Trennsatz für konvexe Mengen). Es seien P und Q zwei nichtleere
konvexe Teilmengen des R n . Es gibt eine P und Q trennende Hyperebene H = {x ∈ R n |
c T x = γ} (d. h. P ∪ Q ⊆ H, P ⊆ {x ∈ R n | c T x ≤ γ}, Q ⊆ {x ∈ R n | c T x ≥ γ}) genau
dann, wenn der Durchschnitt des relativ Inneren von P mit dem relativ Inneren von Q
leer ist. △
Beweis. Siehe Stoer & Witzgall (1970), Seite 98, Satz (3.3.9) oder Leichtweiss, „Konvexe
Mengen“, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1980, Seite 28, Satz 3.1. ✷
Der aufmerksame Leser wird bemerkt haben, dass in (11.9) der Vektorraum R n (und
nicht wie üblich K n ) benutzt wurde. In der Tat ist Satz (11.9) für konvexe Teilmengen von
Q n im folgenden Sinne falsch. Es ist nicht immer möglich, zwei konvexe Mengen in Q n ,
deren relativ innere Mengen kein gemeinsames Element besitzen, durch eine Hyperebene
c T x = γ zu trennen, so dass der Vektor (c T , γ) T rational ist. Man betrachte nur P =
{x ∈ Q | x < √ 2}, Q = {x ∈ Q | x > √ 2}. Dieses Beispiel zeigt auch, dass die bisher
entwickelten konstruktiven Beweistechniken, die ja für Q und R gleichermaßen arbeiten,
nicht mächtig genug sind, um (11.9) abzuleiten. Offenbar muss das Vollständigkeitsaxiom
der reellen Zahlen auf irgendeine Weise benutzt werden.
Satz (11.9) können wir allerdings für Polyeder beweisen. Zu seiner Formulierung müssen
wir jedoch schärfere Anforderungen an die Darstellung der involvierten Polyeder stellen.
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