finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

11 Das Farkas-Lemma und Dualitätstheorie
(11.6) Satz (Gordan (1873)). Es gilt genau eine der beiden folgenden Alternativen:
(a) ∃x mit Ax < 0,
(b) ∃u ≥ 0, u = 0 mit u T A = 0 T . △
Beweis. Setze in (11.5) B := A (wobei A die obige Matrix ist), b := 0, A := 0, a := 0.✷
(11.7) Satz (Stiemke (1915)). Es gilt genau eine der folgenden Alternativen:
(a) ∃x > 0 mit Ax = 0,
(b) ∃u mit u T A ≥ 0 T , u T A = 0. △
Beweis. Setze in (11.5) B := −I, b = 0, A :=
A
, a := 0. ✷
−A
Der Satz von Stiemke charakterisiert also die strikt positive Lösbarkeit eines homogenen
Gleichungssystems, während der Satz von Gordan die semipositive Lösbarkeit des
homogenen Gleichungssytems u T A = 0 kennzeichnet. Eine Sammlung weiterer Alternativsätze
kann man in
finden.
O. L. Mangasarian, „Nonlinear Programming“, McGraw-Hill, New York, 1969
11.3 Trennsätze
So genannte Trennsätze spielen in der Konvexitätstheorie und — in noch allgemeinerer
Form — in der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle. Diese Sätze sind i. a. vom folgenden
Typ: Seien S und T zwei Mengen, dann gibt es unter gewissen Voraussetzungen eine
Hyperebene H, die S und T trennt. Geometrisch heißt dies, dass S auf der einen, T auf
der anderen Seite von H liegt. Genauer: Sei H = {x | c T x = γ}, c = 0, eine Hyperebene,
dann sagen wir, dass H zwei Mengen P und Q trennt, falls P ∪ Q ⊆ H und P ⊆ {x |
c T x ≤ γ}, Q ⊆ {x | c T x ≥ γ} gilt. Wir sagen, dass H die Mengen P und Q strikt trennt,
falls P ⊆ {x | c T x < γ} und Q ⊆ {x | c T x > γ}.
Das Farkas-Lemma impliziert einige interessante Trennsätze für Polyeder P ⊆ K n .
Wir wollen hier einen Satz dieser Art angeben, der als Prototyp für die allgemeineren
Trennsätze angesehen werden kann.
(11.8) Satz (Trennsatz für Polyeder). Es seien P = P (A, a) und Q = P (B, b) zwei
Polyeder im K n . Es gibt eine P und Q strikt trennende Hyperebene genau dann, wenn
P ∩ Q = ∅ gilt, es sei denn, eines der Polyeder ist leer und das andere der K n . △
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