finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

11.2 Alternativ- und Transpositionssätze
11.2 Alternativ- und Transpositionssätze
Wir haben das Farkas-Lemma nun in verschiedenen Versionen formuliert. Folgerung (10.8)
beschreibt ein zur Unlösbarkeit eines Ungleichungssystems äquivalentes Kriterium. Die
Sätze (11.1) und (11.2) haben die Form von Alternativen, während in (11.3) die Lösbarkeit
eines Systems mit der Unlösbarkeit eines durch Transposition gewonnenes System
festgestellt wird. Man nennt deshalb Sätze des Typs (11.1), (11.2) bzw. (11.3) Alternativbzw.
Transpositionssätze. Die Literatur ist außerordentlich reich an derartigen Sätzen, da
sie — wie wir später noch sehen werden — auf vielerlei Weise nützlich sind. Wir wollen
hier noch einige weitere Sätze dieser Art angeben.
(11.4) Satz. Es seien A ∈ K (p,n) , B ∈ K (q,n) , a ∈ K p , b ∈ K q , dann gilt genau eine
der beiden folgenden Alternativen:
(a) ∃ x ∈ K n mit Ax ≤ a, Bx < b
(b) (b1): ∃u ∈ K p
+ , v ∈ Kq
+ \ {0} mit uT A + v T B = 0 T , u T a + v T b ≤ 0, oder
(b2): ∃u ∈ K p
+ mit uT A = 0 T , u T a < 0 △
Beweis. Angenommen, (a) und (b2) gelten gleichzeitig, dann gibt es also einen Vektor x
mit Ax ≤ a und einen Vektor u ∈ K p
+ mit uT A = 0 T , u T a < 0, was (11.2)(a) widerspricht.
Angenommen, (a) und (b1) gelten gleichzeitig, dann gilt: 0 T x = (u T A+v T B)x =
u T (Ax) + v T (Bx) < u T a + v T b ≤ 0, ein Widerspruch.
Wir nehmen nun an, dass (a) nicht gilt und wollen zeigen, dass dann (b) gilt. Wir
wenden die Fourier-Motzkin-Elimination n-mal iterativ auf A a
und an. Nach (10.7)
B b
und erhalten wir nach n Schritten Matrizen C, D und Vektoren c, d, so dass Ax ≤ a,
Bx < b genau dann lösbar ist, wenn Cx ≤ c, Dx < d lösbar ist, wobei C = 0, D = 0 gilt.
Nach Annahme gilt (a) nicht, also muss es einen Zeilenindex i von C geben mit ci < 0
oder einen Zeilenindex j von D mit dj ≤ 0.
Wendet man die Fourier-Motzkin-Elimination nur auf A, a und n-mal sukzessiv an,
so erhält man nach (10.7) das System C, c. Das heißt, die Lösbarkeit von Ax ≤ a ist
äquivalent zur Lösbarkeit von Cx ≤ c. Ist also Ax ≤ a nicht lösbar, so gibt es nach (10.8)
einen Vektor u ≥ 0 mit uT A = 0T , uT a < 0, das heißt (b2) gilt. Ist Ax ≤ a lösbar, so
gibt es keinen Vektor u ≥ 0 mit uT A = 0T , uT a < 0, d. h. ci ≥ 0 für alle i. Folglich muss
dj ≤ 0 für ein j gelten. Die Zeile Dj· = 0T ist eine konische Kombination von Zeilen von
A und Zeilen von B. Nach Definition, siehe (10.7), muss dabei mindestens eine Zeile von
B mit einem positiven Multiplikator beteiligt sein, also gibt es u ∈ K p
+ , v ∈ Kq+
\ {0}
mit uT A + vT B = Dj· = 0T und uT a + vT b = dj ≤ 0, das heißt (b1) gilt. ✷
(11.5) Folgerung. Ist P (A, a) = ∅, dann gilt genau eine der beiden folgenden Alternativen:
(a) ∃x ∈ Kn mit Ax ≤ a, Bx < b,
(b) ∃ u p+q
v ∈ K
+ , v = 0 mit uT A + v T B = 0 T und u T a + v T b ≤ 0. △
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