finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

11 Das Farkas-Lemma und Dualitätstheorie
Setzen wir v := v − v und betrachten wir w als einen Vektor von Schlupfvariablen, so
lässt sich dieses System äquivalent schreiben als:
∃ u, v mit
u T A + v T C ≥ 0 T
u T B + v T D = 0 T
u ≥ 0
u T a + v T b < 0,
und dies ist das gewünschte Resultat. ✷
Durch Spezialisierung von (11.1) erhalten wir:
(11.2) Satz ((Spezielles) Farkas-Lemma.). Es seien A ∈ K (m,n) und b ∈ K m , dann
gilt:
(a) ∃ x mit Ax ≤ b ˙∨ ∃ u ≥ 0 mit u T A = 0 T und u T b < 0.
(b) ∃ x ≥ 0 mit Ax ≤ b ˙∨ ∃ u ≥ 0 mit u T A ≥ 0 T und u T b < 0.
(c) ∃ x ≥ 0 mit Ax = b ˙∨ ∃ u mit u T A ≥ 0 T und u T b < 0.
(d) ∃ x mit Ax = b ˙∨ ∃ u mit u T A = 0 T und u T b < 0. △
Das Farkas-Lemma (11.2) in seiner Version (a) charakterisiert also
(a) Die Lösbarkeit eines linearen Ungleichungssystems,
in seiner Version (11.2)(b)
(b) die nichtnegative Lösbarkeit eines linearen Ungleichungssystems,
in seiner Version (11.2)(c)
(c) die nichtnegative Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems,
in seiner Version (11.2)(d)
(d) die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems,
wobei (d) natürlich bereits aus der linearen Algebra bekannt ist. Die zweite Alternative
in (d) ist nichts anderes als eine Umformulierung von rang(A) = rang(A, b).
Die linken Alternativen in (11.1) und (11.2) (a)–(d) sagen aus, dass gewisse Polyeder
nicht leer sind. Die Lösungsmengen der rechten Alternativen sind dagegen keine Polyeder,
weil jeweils eine strikte Ungleichung in den Gleichungs- und Ungleichungssystemen
vorkommt. Da in allen Fällen die rechten Seiten der rechten Alternativen Nullvektoren
sind, sind die Lösungsmengen (ohne die strikte Ungleichung) nach (2.9) Kegel. Folglich
können die Lösungsvektoren skaliert werden. Aus dieser Beobachtung folgt:
(11.3) Satz (Farkas-Lemma (polyedrische Version)). Es seien A ∈ K (m,n) und
b ∈ Km , dann gilt:
(a) P (A, b) = ∅ ˙∨ P =
AT bT (b) P
0
,
−1
= ∅.
= (A, b) = ∅ ˙∨
−AT P
bT
0
,
−1
= ∅.
△
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Polyedrische Formulierungen von (11.2)(b), (d) und (11.1) seien dem Leser überlassen.