finale Version des Vorlesungsskripts - ZIB

11 Das Farkas-Lemma und
Dualitätstheorie
11.1 Verschiedene Versionen des Farkas-Lemmas
(11.1) Satz ((Allgemeines) Farkas-Lemma). Für dimensionsverträgliche Matrizen
A, B, C, D und Vektoren a, b gilt:
⎫
Es existieren x, y mit
⎪⎬
Ax + By ≤ a
Cx + Dy = b
⎪⎭
x ≥ 0
˙∨
⎧
Es existieren u, v mit
⎪⎨
⎪⎩
u T A + v T C ≥ 0 T
u T B + v T D = 0 T
u ≥ 0
u T a + v T b < 0.
(Hierbei bezeichnet „ ˙∨“ das „entweder oder“, d. h. eine der beiden Aussagen gilt, aber
niemals beide gleichzeitig, also eine Alternative.) △
Beweis. Durch die Transformationsregeln (2.5) führen wir die obige Aussage auf Folgerung
(10.8) zurück. Die linke Aussage der Alternative lässt sich schreiben als „∃z mit
Az ≤ a“ wobei
⎛
A
⎞
B
⎛ ⎞
a
⎜
A := ⎜ C
⎝−C
D ⎟
−D⎠
und
⎜
a = ⎜ b ⎟
⎝−b⎠
−I 0
0
.
Nach (10.8) hat dieses System genau dann keine Lösung, wenn gilt:
∃y T = (u T , v T , v T , w T ) ≥ 0
mit y T A = 0 T und y T a < 0. Ausführlich geschrieben heißt dies:
⎛ ⎞
u
⎜
∃ ⎜v
⎟
⎝v
⎠ ≥ 0 mit
w
u T A + v T C − v T C − w T = 0 T
u T B + v T D − v T D = 0 T
u T a + v T b − v T b < 0.
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